Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57623 / 29652
↖ ↑ ↗
← N 69.699056°
W 21.733704°		 ← 105.97 m → N 69.699056°
W 21.730957°		 →
↑
105.95 m
↓
↑
105.95 m
↓
N 69.698104°
W 21.733704°		 ← 105.97 m →
11 228 m²		 N 69.698104°
W 21.730957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439632415771484 y=0.226230621337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439632415771484 × 217)
    floor (0.439632415771484 × 131072)
    floor (57623.5)     		tx = 57623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226230621337891 × 217)
    floor (0.226230621337891 × 131072)
    floor (29652.5)     		ty = 29652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57623 / 29652 ti = "17/57623/29652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57623/29652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57623 ÷ 217
    57623 ÷ 131072     		x = 0.439628601074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29652 ÷ 217
    29652 ÷ 131072     		y = 0.226226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439628601074219 × 2 - 1) × π
    -0.120742797851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.37932469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226226806640625 × 2 - 1) × π
    0.54754638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72016770596609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37932469} λ = -0.37932469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72016770596609))-π/2
    2×atan(5.58546510155497)-π/2
    2×1.39363717562515-π/2
    2.78727435125031-1.57079632675     		φ = 1.21647802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37932469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.733704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21647802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.699056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57623 KachelY 29652 -0.37932469 1.21647802 -21.733704 69.699056
    Oben rechts KachelX + 1 57624 KachelY 29652 -0.37927675 1.21647802 -21.730957 69.699056
    Unten links KachelX 57623 KachelY + 1 29653 -0.37932469 1.21646139 -21.733704 69.698104
    Unten rechts KachelX + 1 57624 KachelY + 1 29653 -0.37927675 1.21646139 -21.730957 69.698104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21647802-1.21646139) × R
    1.6629999999962e-05 × 6371000     		dl = 105.949729999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21647802-1.21646139) × R
    1.6629999999962e-05 × 6371000     		dr = 105.949729999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37932469--0.37927675) × cos(1.21647802) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346951097281477 × 6371000     		do = 105.96779563106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37932469--0.37927675) × cos(1.21646139) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346966694231464 × 6371000     		du = 105.972559341052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21647802)-sin(1.21646139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346951097281477-0.346966694231464)×R²
    abs(-0.37927675--0.37932469)×1.55969499873732e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.55969499873732e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.55969499873732e-05×40589641000000     		ar = 11227.5116928891m²