Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57621 / 86757
↖ ↑ ↗
← S 50.241936°
W 21.739197°		 ← 195.33 m → S 50.241936°
W 21.736450°		 →
↑
195.27 m
↓
↑
195.27 m
↓
S 50.243692°
W 21.739197°		 ← 195.33 m →
38 142 m²		 S 50.243692°
W 21.736450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439617156982422 y=0.661907196044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439617156982422 × 217)
    floor (0.439617156982422 × 131072)
    floor (57621.5)     		tx = 57621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661907196044922 × 217)
    floor (0.661907196044922 × 131072)
    floor (86757.5)     		ty = 86757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57621 / 86757 ti = "17/57621/86757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57621/86757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57621 ÷ 217
    57621 ÷ 131072     		x = 0.439613342285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86757 ÷ 217
    86757 ÷ 131072     		y = 0.661903381347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439613342285156 × 2 - 1) × π
    -0.120773315429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.37942056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661903381347656 × 2 - 1) × π
    -0.323806762695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.01726894683721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37942056} λ = -0.37942056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01726894683721))-π/2
    2×atan(0.361581090125952)-π/2
    2×0.346954565003726-π/2
    0.693909130007452-1.57079632675     		φ = -0.87688720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37942056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.739197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87688720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.241936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57621 KachelY 86757 -0.37942056 -0.87688720 -21.739197 -50.241936
    Oben rechts KachelX + 1 57622 KachelY 86757 -0.37937262 -0.87688720 -21.736450 -50.241936
    Unten links KachelX 57621 KachelY + 1 86758 -0.37942056 -0.87691785 -21.739197 -50.243692
    Unten rechts KachelX + 1 57622 KachelY + 1 86758 -0.37937262 -0.87691785 -21.736450 -50.243692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87688720--0.87691785) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dl = 195.271150000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87688720--0.87691785) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dr = 195.271150000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37942056--0.37937262) × cos(-0.87688720) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.639547209463264 × 6371000     		do = 195.334179715351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37942056--0.37937262) × cos(-0.87691785) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63952364691946 × 6371000     		du = 195.326983107973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87688720)-sin(-0.87691785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639547209463264-0.63952364691946)×R²
    abs(-0.37937262--0.37942056)×2.35625438037568e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35625438037568e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35625438037568e-05×40589641000000     		ar = 38142.4272655581m²