Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57621 / 85697
↖ ↑ ↗
← S 48.343472°
W 21.739197°		 ← 203.01 m → S 48.343472°
W 21.736450°		 →
↑
203.04 m
↓
↑
203.04 m
↓
S 48.345298°
W 21.739197°		 ← 203 m →
41 218 m²		 S 48.345298°
W 21.736450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439617156982422 y=0.653820037841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439617156982422 × 217)
    floor (0.439617156982422 × 131072)
    floor (57621.5)     		tx = 57621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653820037841797 × 217)
    floor (0.653820037841797 × 131072)
    floor (85697.5)     		ty = 85697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57621 / 85697 ti = "17/57621/85697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57621/85697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57621 ÷ 217
    57621 ÷ 131072     		x = 0.439613342285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85697 ÷ 217
    85697 ÷ 131072     		y = 0.653816223144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439613342285156 × 2 - 1) × π
    -0.120773315429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.37942056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653816223144531 × 2 - 1) × π
    -0.307632446289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.966455833239952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37942056} λ = -0.37942056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966455833239952))-π/2
    2×atan(0.380428955274942)-π/2
    2×0.363521786392499-π/2
    0.727043572784998-1.57079632675     		φ = -0.84375275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37942056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.739197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84375275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.343472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57621 KachelY 85697 -0.37942056 -0.84375275 -21.739197 -48.343472
    Oben rechts KachelX + 1 57622 KachelY 85697 -0.37937262 -0.84375275 -21.736450 -48.343472
    Unten links KachelX 57621 KachelY + 1 85698 -0.37942056 -0.84378462 -21.739197 -48.345298
    Unten rechts KachelX + 1 57622 KachelY + 1 85698 -0.37937262 -0.84378462 -21.736450 -48.345298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84375275--0.84378462) × R
    3.18699999999339e-05 × 6371000     		dl = 203.043769999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84375275--0.84378462) × R
    3.18699999999339e-05 × 6371000     		dr = 203.043769999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37942056--0.37937262) × cos(-0.84375275) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664663672953744 × 6371000     		do = 203.005394163117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37942056--0.37937262) × cos(-0.84378462) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664639861178613 × 6371000     		du = 202.998121434077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84375275)-sin(-0.84378462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664663672953744-0.664639861178613)×R²
    abs(-0.37937262--0.37942056)×2.38117751307776e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38117751307776e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38117751307776e-05×40589641000000     		ar = 41218.2422234551m²