Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57621 / 29649
↖ ↑ ↗
← N 69.701915°
W 21.739197°		 ← 105.95 m → N 69.701915°
W 21.736450°		 →
↑
105.95 m
↓
↑
105.95 m
↓
N 69.700963°
W 21.739197°		 ← 105.96 m →
11 226 m²		 N 69.700963°
W 21.736450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439617156982422 y=0.226207733154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439617156982422 × 217)
    floor (0.439617156982422 × 131072)
    floor (57621.5)     		tx = 57621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226207733154297 × 217)
    floor (0.226207733154297 × 131072)
    floor (29649.5)     		ty = 29649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57621 / 29649 ti = "17/57621/29649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57621/29649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57621 ÷ 217
    57621 ÷ 131072     		x = 0.439613342285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29649 ÷ 217
    29649 ÷ 131072     		y = 0.226203918457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439613342285156 × 2 - 1) × π
    -0.120773315429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.37942056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226203918457031 × 2 - 1) × π
    0.547592163085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.72031151666496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37942056} λ = -0.37942056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72031151666496))-π/2
    2×atan(5.5862684089554)-π/2
    2×1.39366212158236-π/2
    2.78732424316473-1.57079632675     		φ = 1.21652792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37942056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.739197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21652792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.701915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57621 KachelY 29649 -0.37942056 1.21652792 -21.739197 69.701915
    Oben rechts KachelX + 1 57622 KachelY 29649 -0.37937262 1.21652792 -21.736450 69.701915
    Unten links KachelX 57621 KachelY + 1 29650 -0.37942056 1.21651129 -21.739197 69.700963
    Unten rechts KachelX + 1 57622 KachelY + 1 29650 -0.37937262 1.21651129 -21.736450 69.700963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21652792-1.21651129) × R
    1.6630000000184e-05 × 6371000     		dl = 105.949730001172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21652792-1.21651129) × R
    1.6630000000184e-05 × 6371000     		dr = 105.949730001172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37942056--0.37937262) × cos(1.21652792) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346904296476816 × 6371000     		do = 105.953501460664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37942056--0.37937262) × cos(1.21651129) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346919893714703 × 6371000     		du = 105.958265258588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21652792)-sin(1.21651129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346904296476816-0.346919893714703)×R²
    abs(-0.37937262--0.37942056)×1.55972378874658e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.55972378874658e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.55972378874658e-05×40589641000000     		ar = 11225.9972342763m²