Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57620 / 85700
↖ ↑ ↗
← S 48.348948°
W 21.741944°		 ← 202.98 m → S 48.348948°
W 21.739197°		 →
↑
202.98 m
↓
↑
202.98 m
↓
S 48.350773°
W 21.741944°		 ← 202.98 m →
41 201 m²		 S 48.350773°
W 21.739197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439609527587891 y=0.653842926025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439609527587891 × 217)
    floor (0.439609527587891 × 131072)
    floor (57620.5)     		tx = 57620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653842926025391 × 217)
    floor (0.653842926025391 × 131072)
    floor (85700.5)     		ty = 85700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57620 / 85700 ti = "17/57620/85700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57620/85700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57620 ÷ 217
    57620 ÷ 131072     		x = 0.439605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85700 ÷ 217
    85700 ÷ 131072     		y = 0.653839111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439605712890625 × 2 - 1) × π
    -0.12078857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37946850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653839111328125 × 2 - 1) × π
    -0.30767822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.966599643938812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37946850} λ = -0.37946850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966599643938812))-π/2
    2×atan(0.380374249454752)-π/2
    2×0.363473996086641-π/2
    0.726947992173282-1.57079632675     		φ = -0.84384833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37946850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.741944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84384833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.348948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57620 KachelY 85700 -0.37946850 -0.84384833 -21.741944 -48.348948
    Oben rechts KachelX + 1 57621 KachelY 85700 -0.37942056 -0.84384833 -21.739197 -48.348948
    Unten links KachelX 57620 KachelY + 1 85701 -0.37946850 -0.84388019 -21.741944 -48.350773
    Unten rechts KachelX + 1 57621 KachelY + 1 85701 -0.37942056 -0.84388019 -21.739197 -48.350773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84384833--0.84388019) × R
    3.18599999999947e-05 × 6371000     		dl = 202.980059999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84384833--0.84388019) × R
    3.18599999999947e-05 × 6371000     		dr = 202.980059999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37946850--0.37942056) × cos(-0.84384833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664592258019345 × 6371000     		do = 202.983582203696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37946850--0.37942056) × cos(-0.84388019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664568451691978 × 6371000     		du = 202.976311138543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84384833)-sin(-0.84388019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664592258019345-0.664568451691978)×R²
    abs(-0.37942056--0.37946850)×2.38063273668709e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38063273668709e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38063273668709e-05×40589641000000     		ar = 41200.8817574904m²