Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57619 / 86387
↖ ↑ ↗
← S 49.587568°
W 21.744690°		 ← 197.96 m → S 49.587568°
W 21.741944°		 →
↑
198.01 m
↓
↑
198.01 m
↓
S 49.589349°
W 21.744690°		 ← 197.95 m →
39 198 m²		 S 49.589349°
W 21.741944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439601898193359 y=0.659084320068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439601898193359 × 217)
    floor (0.439601898193359 × 131072)
    floor (57619.5)     		tx = 57619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659084320068359 × 217)
    floor (0.659084320068359 × 131072)
    floor (86387.5)     		ty = 86387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57619 / 86387 ti = "17/57619/86387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57619/86387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57619 ÷ 217
    57619 ÷ 131072     		x = 0.439598083496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86387 ÷ 217
    86387 ÷ 131072     		y = 0.659080505371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439598083496094 × 2 - 1) × π
    -0.120803833007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.37951643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659080505371094 × 2 - 1) × π
    -0.318161010742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.999532293977791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37951643} λ = -0.37951643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.999532293977791))-π/2
    2×atan(0.368051540844415)-π/2
    2×0.352664998212879-π/2
    0.705329996425757-1.57079632675     		φ = -0.86546633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37951643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.744690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86546633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.587568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57619 KachelY 86387 -0.37951643 -0.86546633 -21.744690 -49.587568
    Oben rechts KachelX + 1 57620 KachelY 86387 -0.37946850 -0.86546633 -21.741944 -49.587568
    Unten links KachelX 57619 KachelY + 1 86388 -0.37951643 -0.86549741 -21.744690 -49.589349
    Unten rechts KachelX + 1 57620 KachelY + 1 86388 -0.37946850 -0.86549741 -21.741944 -49.589349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86546633--0.86549741) × R
    3.10800000000722e-05 × 6371000     		dl = 198.01068000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86546633--0.86549741) × R
    3.10800000000722e-05 × 6371000     		dr = 198.01068000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37951643--0.37946850) × cos(-0.86546633) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.648285123617327 × 6371000     		do = 197.961661366709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37951643--0.37946850) × cos(-0.86549741) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.64826145906491 × 6371000     		du = 197.954435110944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86546633)-sin(-0.86549741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648285123617327-0.64826145906491)×R²
    abs(-0.37946850--0.37951643)×2.3664552417535e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3664552417535e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3664552417535e-05×40589641000000     		ar = 39197.8077464279m²