Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57618 / 85699
↖ ↑ ↗
← S 48.347123°
W 21.747436°		 ← 202.99 m → S 48.347123°
W 21.744690°		 →
↑
202.92 m
↓
↑
202.92 m
↓
S 48.348948°
W 21.747436°		 ← 202.98 m →
41 189 m²		 S 48.348948°
W 21.744690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439594268798828 y=0.653835296630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439594268798828 × 217)
    floor (0.439594268798828 × 131072)
    floor (57618.5)     		tx = 57618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653835296630859 × 217)
    floor (0.653835296630859 × 131072)
    floor (85699.5)     		ty = 85699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57618 / 85699 ti = "17/57618/85699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57618/85699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57618 ÷ 217
    57618 ÷ 131072     		x = 0.439590454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85699 ÷ 217
    85699 ÷ 131072     		y = 0.653831481933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439590454101562 × 2 - 1) × π
    -0.120819091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37956437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653831481933594 × 2 - 1) × π
    -0.307662963867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.966551707039192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37956437} λ = -0.37956437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966551707039192))-π/2
    2×atan(0.380392483854013)-π/2
    2×0.363489925618022-π/2
    0.726979851236045-1.57079632675     		φ = -0.84381648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37956437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.747436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84381648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.347123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57618 KachelY 85699 -0.37956437 -0.84381648 -21.747436 -48.347123
    Oben rechts KachelX + 1 57619 KachelY 85699 -0.37951643 -0.84381648 -21.744690 -48.347123
    Unten links KachelX 57618 KachelY + 1 85700 -0.37956437 -0.84384833 -21.747436 -48.348948
    Unten rechts KachelX + 1 57619 KachelY + 1 85700 -0.37951643 -0.84384833 -21.744690 -48.348948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84381648--0.84384833) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dl = 202.916350000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84381648--0.84384833) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dr = 202.916350000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37956437--0.37951643) × cos(-0.84381648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66461605620026 × 6371000     		do = 202.990850780713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37956437--0.37951643) × cos(-0.84384833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.664592258019345 × 6371000     		du = 202.983582203696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84381648)-sin(-0.84384833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66461605620026-0.664592258019345)×R²
    abs(-0.37951643--0.37956437)×2.37981809158017e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37981809158017e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37981809158017e-05×40589641000000     		ar = 41189.4250708318m²