Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57618 / 85162
↖ ↑ ↗
← S 47.357432°
W 21.747436°		 ← 206.90 m → S 47.357432°
W 21.744690°		 →
↑
206.93 m
↓
↑
206.93 m
↓
S 47.359293°
W 21.747436°		 ← 206.90 m →
42 814 m²		 S 47.359293°
W 21.744690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439594268798828 y=0.649738311767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439594268798828 × 217)
    floor (0.439594268798828 × 131072)
    floor (57618.5)     		tx = 57618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649738311767578 × 217)
    floor (0.649738311767578 × 131072)
    floor (85162.5)     		ty = 85162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57618 / 85162 ti = "17/57618/85162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57618/85162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57618 ÷ 217
    57618 ÷ 131072     		x = 0.439590454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85162 ÷ 217
    85162 ÷ 131072     		y = 0.649734497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439590454101562 × 2 - 1) × π
    -0.120819091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37956437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649734497070312 × 2 - 1) × π
    -0.299468994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.940809591943222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37956437} λ = -0.37956437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940809591943222))-π/2
    2×atan(0.390311714192058)-π/2
    2×0.372126607045464-π/2
    0.744253214090928-1.57079632675     		φ = -0.82654311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37956437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.747436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82654311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.357432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57618 KachelY 85162 -0.37956437 -0.82654311 -21.747436 -47.357432
    Oben rechts KachelX + 1 57619 KachelY 85162 -0.37951643 -0.82654311 -21.744690 -47.357432
    Unten links KachelX 57618 KachelY + 1 85163 -0.37956437 -0.82657559 -21.747436 -47.359293
    Unten rechts KachelX + 1 57619 KachelY + 1 85163 -0.37951643 -0.82657559 -21.744690 -47.359293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82654311--0.82657559) × R
    3.24800000000014e-05 × 6371000     		dl = 206.930080000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82654311--0.82657559) × R
    3.24800000000014e-05 × 6371000     		dr = 206.930080000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37956437--0.37951643) × cos(-0.82654311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.677422670159567 × 6371000     		do = 206.902320326126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37956437--0.37951643) × cos(-0.82657559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.677398777709279 × 6371000     		du = 206.895022956817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82654311)-sin(-0.82657559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677422670159567-0.677398777709279)×R²
    abs(-0.37951643--0.37956437)×2.38924502874438e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38924502874438e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38924502874438e-05×40589641000000     		ar = 42813.5586784754m²