Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57614 / 85197
↖ ↑ ↗
← S 47.422513°
W 21.758423°		 ← 206.65 m → S 47.422513°
W 21.755676°		 →
↑
206.61 m
↓
↑
206.61 m
↓
S 47.424371°
W 21.758423°		 ← 206.64 m →
42 695 m²		 S 47.424371°
W 21.755676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439563751220703 y=0.650005340576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439563751220703 × 217)
    floor (0.439563751220703 × 131072)
    floor (57614.5)     		tx = 57614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650005340576172 × 217)
    floor (0.650005340576172 × 131072)
    floor (85197.5)     		ty = 85197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57614 / 85197 ti = "17/57614/85197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57614/85197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57614 ÷ 217
    57614 ÷ 131072     		x = 0.439559936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85197 ÷ 217
    85197 ÷ 131072     		y = 0.650001525878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439559936523438 × 2 - 1) × π
    -0.120880126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37975612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650001525878906 × 2 - 1) × π
    -0.300003051757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.942487383429924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37975612} λ = -0.37975612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.942487383429924))-π/2
    2×atan(0.389657401574386)-π/2
    2×0.371558670712957-π/2
    0.743117341425913-1.57079632675     		φ = -0.82767899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37975612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.758423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82767899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.422513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57614 KachelY 85197 -0.37975612 -0.82767899 -21.758423 -47.422513
    Oben rechts KachelX + 1 57615 KachelY 85197 -0.37970818 -0.82767899 -21.755676 -47.422513
    Unten links KachelX 57614 KachelY + 1 85198 -0.37975612 -0.82771142 -21.758423 -47.424371
    Unten rechts KachelX + 1 57615 KachelY + 1 85198 -0.37970818 -0.82771142 -21.755676 -47.424371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82767899--0.82771142) × R
    3.24299999999722e-05 × 6371000     		dl = 206.611529999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82767899--0.82771142) × R
    3.24299999999722e-05 × 6371000     		dr = 206.611529999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37975612--0.37970818) × cos(-0.82767899) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676586686818599 × 6371000     		do = 206.646989495583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37975612--0.37970818) × cos(-0.82771142) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676562806211005 × 6371000     		du = 206.639695743337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82767899)-sin(-0.82771142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676586686818599-0.676562806211005)×R²
    abs(-0.37970818--0.37975612)×2.38806075942843e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38806075942843e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38806075942843e-05×40589641000000     		ar = 42694.897186524m²