Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57613 / 85749
↖ ↑ ↗
← S 48.438312°
W 21.761170°		 ← 202.63 m → S 48.438312°
W 21.758423°		 →
↑
202.60 m
↓
↑
202.60 m
↓
S 48.440134°
W 21.761170°		 ← 202.62 m →
41 051 m²		 S 48.440134°
W 21.758423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439556121826172 y=0.654216766357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439556121826172 × 217)
    floor (0.439556121826172 × 131072)
    floor (57613.5)     		tx = 57613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654216766357422 × 217)
    floor (0.654216766357422 × 131072)
    floor (85749.5)     		ty = 85749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57613 / 85749 ti = "17/57613/85749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57613/85749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57613 ÷ 217
    57613 ÷ 131072     		x = 0.439552307128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85749 ÷ 217
    85749 ÷ 131072     		y = 0.654212951660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439552307128906 × 2 - 1) × π
    -0.120895385742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.37980406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654212951660156 × 2 - 1) × π
    -0.308425903320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.968948552020195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37980406} λ = -0.37980406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968948552020195))-π/2
    2×atan(0.379481833817725)-π/2
    2×0.362694147907716-π/2
    0.725388295815431-1.57079632675     		φ = -0.84540803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37980406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.761170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84540803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.438312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57613 KachelY 85749 -0.37980406 -0.84540803 -21.761170 -48.438312
    Oben rechts KachelX + 1 57614 KachelY 85749 -0.37975612 -0.84540803 -21.758423 -48.438312
    Unten links KachelX 57613 KachelY + 1 85750 -0.37980406 -0.84543983 -21.761170 -48.440134
    Unten rechts KachelX + 1 57614 KachelY + 1 85750 -0.37975612 -0.84543983 -21.758423 -48.440134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84540803--0.84543983) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dl = 202.597800000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84540803--0.84543983) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dr = 202.597800000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37980406--0.37975612) × cos(-0.84540803) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663426032590654 × 6371000     		do = 202.627386939366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37980406--0.37975612) × cos(-0.84543983) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663402238163681 × 6371000     		du = 202.6201195089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84540803)-sin(-0.84543983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663426032590654-0.663402238163681)×R²
    abs(-0.37975612--0.37980406)×2.37944269727564e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37944269727564e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37944269727564e-05×40589641000000     		ar = 41051.1266344147m²