Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57613 / 44297
↖ ↑ ↗
← N 50.273543°
W 21.761170°		 ← 195.20 m → N 50.273543°
W 21.758423°		 →
↑
195.21 m
↓
↑
195.21 m
↓
N 50.271788°
W 21.761170°		 ← 195.21 m →
38 106 m²		 N 50.271788°
W 21.758423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439556121826172 y=0.337963104248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439556121826172 × 217)
    floor (0.439556121826172 × 131072)
    floor (57613.5)     		tx = 57613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337963104248047 × 217)
    floor (0.337963104248047 × 131072)
    floor (44297.5)     		ty = 44297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57613 / 44297 ti = "17/57613/44297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57613/44297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57613 ÷ 217
    57613 ÷ 131072     		x = 0.439552307128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44297 ÷ 217
    44297 ÷ 131072     		y = 0.337959289550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439552307128906 × 2 - 1) × π
    -0.120895385742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.37980406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337959289550781 × 2 - 1) × π
    0.324081420898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.01813181103037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37980406} λ = -0.37980406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01813181103037))-π/2
    2×atan(2.76801874848855)-π/2
    2×1.22411759147873-π/2
    2.44823518295746-1.57079632675     		φ = 0.87743886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37980406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.761170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87743886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.273543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57613 KachelY 44297 -0.37980406 0.87743886 -21.761170 50.273543
    Oben rechts KachelX + 1 57614 KachelY 44297 -0.37975612 0.87743886 -21.758423 50.273543
    Unten links KachelX 57613 KachelY + 1 44298 -0.37980406 0.87740822 -21.761170 50.271788
    Unten rechts KachelX + 1 57614 KachelY + 1 44298 -0.37975612 0.87740822 -21.758423 50.271788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87743886-0.87740822) × R
    3.06400000000817e-05 × 6371000     		dl = 195.207440000521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87743886-0.87740822) × R
    3.06400000000817e-05 × 6371000     		dr = 195.207440000521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37980406--0.37975612) × cos(0.87743886) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.639123022537259 × 6371000     		do = 195.204622109577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37980406--0.37975612) × cos(0.87740822) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.639146587599728 × 6371000     		du = 195.21181948622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87743886)-sin(0.87740822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639123022537259-0.639146587599728)×R²
    abs(-0.37975612--0.37980406)×2.35650624693662e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35650624693662e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35650624693662e-05×40589641000000     		ar = 38106.0970520904m²