Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57612 / 85712
↖ ↑ ↗
← S 48.370847°
W 21.763916°		 ← 202.85 m → S 48.370847°
W 21.761170°		 →
↑
202.92 m
↓
↑
202.92 m
↓
S 48.372672°
W 21.763916°		 ← 202.85 m →
41 162 m²		 S 48.372672°
W 21.761170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439548492431641 y=0.653934478759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439548492431641 × 217)
    floor (0.439548492431641 × 131072)
    floor (57612.5)     		tx = 57612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653934478759766 × 217)
    floor (0.653934478759766 × 131072)
    floor (85712.5)     		ty = 85712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57612 / 85712 ti = "17/57612/85712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57612/85712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57612 ÷ 217
    57612 ÷ 131072     		x = 0.439544677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85712 ÷ 217
    85712 ÷ 131072     		y = 0.6539306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439544677734375 × 2 - 1) × π
    -0.12091064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37985199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6539306640625 × 2 - 1) × π
    -0.307861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.967174886734253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37985199} λ = -0.37985199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967174886734253))-π/2
    2×atan(0.380155504829849)-π/2
    2×0.363282886212966-π/2
    0.726565772425932-1.57079632675     		φ = -0.84423055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37985199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.763916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84423055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.370847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57612 KachelY 85712 -0.37985199 -0.84423055 -21.763916 -48.370847
    Oben rechts KachelX + 1 57613 KachelY 85712 -0.37980406 -0.84423055 -21.761170 -48.370847
    Unten links KachelX 57612 KachelY + 1 85713 -0.37985199 -0.84426240 -21.763916 -48.372672
    Unten rechts KachelX + 1 57613 KachelY + 1 85713 -0.37980406 -0.84426240 -21.761170 -48.372672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84423055--0.84426240) × R
    3.18499999999444e-05 × 6371000     		dl = 202.916349999646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84423055--0.84426240) × R
    3.18499999999444e-05 × 6371000     		dr = 202.916349999646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37985199--0.37980406) × cos(-0.84423055) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.664306612320225 × 6371000     		do = 202.854015680416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37985199--0.37980406) × cos(-0.84426240) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.664282805376464 × 6371000     		du = 202.846745943741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84423055)-sin(-0.84426240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664306612320225-0.664282805376464)×R²
    abs(-0.37980406--0.37985199)×2.38069437609179e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38069437609179e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38069437609179e-05×40589641000000     		ar = 41161.6588739572m²