Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57612 / 85196
↖ ↑ ↗
← S 47.420654°
W 21.763916°		 ← 206.61 m → S 47.420654°
W 21.761170°		 →
↑
206.68 m
↓
↑
206.68 m
↓
S 47.422513°
W 21.763916°		 ← 206.60 m →
42 701 m²		 S 47.422513°
W 21.761170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439548492431641 y=0.649997711181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439548492431641 × 217)
    floor (0.439548492431641 × 131072)
    floor (57612.5)     		tx = 57612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649997711181641 × 217)
    floor (0.649997711181641 × 131072)
    floor (85196.5)     		ty = 85196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57612 / 85196 ti = "17/57612/85196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57612/85196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57612 ÷ 217
    57612 ÷ 131072     		x = 0.439544677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85196 ÷ 217
    85196 ÷ 131072     		y = 0.649993896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439544677734375 × 2 - 1) × π
    -0.12091064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37985199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.29998779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.942439446530304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37985199} λ = -0.37985199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.942439446530304))-π/2
    2×atan(0.389676080989845)-π/2
    2×0.371574887733301-π/2
    0.743149775466602-1.57079632675     		φ = -0.82764655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37985199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.763916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82764655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.420654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57612 KachelY 85196 -0.37985199 -0.82764655 -21.763916 -47.420654
    Oben rechts KachelX + 1 57613 KachelY 85196 -0.37980406 -0.82764655 -21.761170 -47.420654
    Unten links KachelX 57612 KachelY + 1 85197 -0.37985199 -0.82767899 -21.763916 -47.422513
    Unten rechts KachelX + 1 57613 KachelY + 1 85197 -0.37980406 -0.82767899 -21.761170 -47.422513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82764655--0.82767899) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dl = 206.675240000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82764655--0.82767899) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dr = 206.675240000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37985199--0.37980406) × cos(-0.82764655) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.676610574078035 × 6371000     		do = 206.611178419821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37985199--0.37980406) × cos(-0.82767899) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.676586686818599 × 6371000     		du = 206.603884157789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82764655)-sin(-0.82767899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676610574078035-0.676586686818599)×R²
    abs(-0.37980406--0.37985199)×2.38872594351403e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38872594351403e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38872594351403e-05×40589641000000     		ar = 42700.6611188044m²