Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57610 / 38141
↖ ↑ ↗
← N 59.893071°
W 21.769409°		 ← 153.21 m → N 59.893071°
W 21.766663°		 →
↑
153.22 m
↓
↑
153.22 m
↓
N 59.891693°
W 21.769409°		 ← 153.21 m →
23 475 m²		 N 59.891693°
W 21.766663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439533233642578 y=0.290996551513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439533233642578 × 217)
    floor (0.439533233642578 × 131072)
    floor (57610.5)     		tx = 57610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290996551513672 × 217)
    floor (0.290996551513672 × 131072)
    floor (38141.5)     		ty = 38141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57610 / 38141 ti = "17/57610/38141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57610/38141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57610 ÷ 217
    57610 ÷ 131072     		x = 0.439529418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38141 ÷ 217
    38141 ÷ 131072     		y = 0.290992736816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439529418945312 × 2 - 1) × π
    -0.120941162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37994787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290992736816406 × 2 - 1) × π
    0.418014526367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.31323136509144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37994787} λ = -0.37994787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31323136509144))-π/2
    2×atan(3.71816908283991)-π/2
    2×1.30806380164402-π/2
    2.61612760328803-1.57079632675     		φ = 1.04533128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37994787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.769409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04533128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.893071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57610 KachelY 38141 -0.37994787 1.04533128 -21.769409 59.893071
    Oben rechts KachelX + 1 57611 KachelY 38141 -0.37989993 1.04533128 -21.766663 59.893071
    Unten links KachelX 57610 KachelY + 1 38142 -0.37994787 1.04530723 -21.769409 59.891693
    Unten rechts KachelX + 1 57611 KachelY + 1 38142 -0.37989993 1.04530723 -21.766663 59.891693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04533128-1.04530723) × R
    2.40500000001642e-05 × 6371000     		dl = 153.222550001046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04533128-1.04530723) × R
    2.40500000001642e-05 × 6371000     		dr = 153.222550001046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37994787--0.37989993) × cos(1.04533128) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.501615366586595 × 6371000     		do = 153.206244535159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37994787--0.37989993) × cos(1.04530723) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.501636171874317 × 6371000     		du = 153.212599005557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04533128)-sin(1.04530723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501615366586595-0.501636171874317)×R²
    abs(-0.37989993--0.37994787)×2.08052877217479e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08052877217479e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08052877217479e-05×40589641000000     		ar = 23475.1382889213m²