Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57609 / 85748
↖ ↑ ↗
← S 48.436490°
W 21.772156°		 ← 202.59 m → S 48.436490°
W 21.769409°		 →
↑
202.60 m
↓
↑
202.60 m
↓
S 48.438312°
W 21.772156°		 ← 202.59 m →
41 044 m²		 S 48.438312°
W 21.769409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439525604248047 y=0.654209136962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439525604248047 × 217)
    floor (0.439525604248047 × 131072)
    floor (57609.5)     		tx = 57609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654209136962891 × 217)
    floor (0.654209136962891 × 131072)
    floor (85748.5)     		ty = 85748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57609 / 85748 ti = "17/57609/85748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57609/85748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57609 ÷ 217
    57609 ÷ 131072     		x = 0.439521789550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85748 ÷ 217
    85748 ÷ 131072     		y = 0.654205322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439521789550781 × 2 - 1) × π
    -0.120956420898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.37999580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654205322265625 × 2 - 1) × π
    -0.30841064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.968900615120575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37999580} λ = -0.37999580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968900615120575))-π/2
    2×atan(0.379500025436321)-π/2
    2×0.36271004948644-π/2
    0.725420098972881-1.57079632675     		φ = -0.84537623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37999580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.772156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84537623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.436490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57609 KachelY 85748 -0.37999580 -0.84537623 -21.772156 -48.436490
    Oben rechts KachelX + 1 57610 KachelY 85748 -0.37994787 -0.84537623 -21.769409 -48.436490
    Unten links KachelX 57609 KachelY + 1 85749 -0.37999580 -0.84540803 -21.772156 -48.438312
    Unten rechts KachelX + 1 57610 KachelY + 1 85749 -0.37994787 -0.84540803 -21.769409 -48.438312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84537623--0.84540803) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dl = 202.597800000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84537623--0.84540803) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dr = 202.597800000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37999580--0.37994787) × cos(-0.84537623) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.663449826346744 × 6371000     		do = 202.592385776278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37999580--0.37994787) × cos(-0.84540803) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.663426032590654 × 6371000     		du = 202.585120066618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84537623)-sin(-0.84540803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663449826346744-0.663426032590654)×R²
    abs(-0.37994787--0.37999580)×2.37937560898516e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37937560898516e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37937560898516e-05×40589641000000     		ar = 41044.0356502359m²