Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57609 / 84960
↖ ↑ ↗
← S 46.980253°
W 21.772156°		 ← 208.33 m → S 46.980253°
W 21.769409°		 →
↑
208.33 m
↓
↑
208.33 m
↓
S 46.982126°
W 21.772156°		 ← 208.33 m →
43 402 m²		 S 46.982126°
W 21.769409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439525604248047 y=0.648197174072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439525604248047 × 217)
    floor (0.439525604248047 × 131072)
    floor (57609.5)     		tx = 57609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648197174072266 × 217)
    floor (0.648197174072266 × 131072)
    floor (84960.5)     		ty = 84960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57609 / 84960 ti = "17/57609/84960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57609/84960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57609 ÷ 217
    57609 ÷ 131072     		x = 0.439521789550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84960 ÷ 217
    84960 ÷ 131072     		y = 0.648193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439521789550781 × 2 - 1) × π
    -0.120956420898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.37999580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648193359375 × 2 - 1) × π
    -0.29638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.931126338219971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37999580} λ = -0.37999580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.931126338219971))-π/2
    2×atan(0.394109559626714)-π/2
    2×0.375418119898332-π/2
    0.750836239796665-1.57079632675     		φ = -0.81996009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37999580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.772156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81996009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.980253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57609 KachelY 84960 -0.37999580 -0.81996009 -21.772156 -46.980253
    Oben rechts KachelX + 1 57610 KachelY 84960 -0.37994787 -0.81996009 -21.769409 -46.980253
    Unten links KachelX 57609 KachelY + 1 84961 -0.37999580 -0.81999279 -21.772156 -46.982126
    Unten rechts KachelX + 1 57610 KachelY + 1 84961 -0.37994787 -0.81999279 -21.769409 -46.982126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81996009--0.81999279) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dl = 208.331699999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81996009--0.81999279) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dr = 208.331699999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37999580--0.37994787) × cos(-0.81996009) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.682250386774346 × 6371000     		do = 208.333363073586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37999580--0.37994787) × cos(-0.81999279) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.682226478831313 × 6371000     		du = 208.326062495568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81996009)-sin(-0.81999279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682250386774346-0.682226478831313)×R²
    abs(-0.37994787--0.37999580)×2.39079430329747e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39079430329747e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39079430329747e-05×40589641000000     		ar = 43401.6832287323m²