Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57609 / 84315
↖ ↑ ↗
← S 45.757942°
W 21.772156°		 ← 213.05 m → S 45.757942°
W 21.769409°		 →
↑
213.11 m
↓
↑
213.11 m
↓
S 45.759859°
W 21.772156°		 ← 213.04 m →
45 402 m²		 S 45.759859°
W 21.769409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439525604248047 y=0.643276214599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439525604248047 × 217)
    floor (0.439525604248047 × 131072)
    floor (57609.5)     		tx = 57609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643276214599609 × 217)
    floor (0.643276214599609 × 131072)
    floor (84315.5)     		ty = 84315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57609 / 84315 ti = "17/57609/84315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57609/84315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57609 ÷ 217
    57609 ÷ 131072     		x = 0.439521789550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84315 ÷ 217
    84315 ÷ 131072     		y = 0.643272399902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439521789550781 × 2 - 1) × π
    -0.120956420898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.37999580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643272399902344 × 2 - 1) × π
    -0.286544799804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.900207037965035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37999580} λ = -0.37999580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900207037965035))-π/2
    2×atan(0.406485493098747)-π/2
    2×0.386084786019577-π/2
    0.772169572039153-1.57079632675     		φ = -0.79862675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37999580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.772156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79862675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.757942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57609 KachelY 84315 -0.37999580 -0.79862675 -21.772156 -45.757942
    Oben rechts KachelX + 1 57610 KachelY 84315 -0.37994787 -0.79862675 -21.769409 -45.757942
    Unten links KachelX 57609 KachelY + 1 84316 -0.37999580 -0.79866020 -21.772156 -45.759859
    Unten rechts KachelX + 1 57610 KachelY + 1 84316 -0.37994787 -0.79866020 -21.769409 -45.759859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79862675--0.79866020) × R
    3.34499999999904e-05 × 6371000     		dl = 213.109949999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79862675--0.79866020) × R
    3.34499999999904e-05 × 6371000     		dr = 213.109949999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37999580--0.37994787) × cos(-0.79862675) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.697691161359297 × 6371000     		do = 213.048389345616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37999580--0.37994787) × cos(-0.79866020) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.697667197433723 × 6371000     		du = 213.041071672656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79862675)-sin(-0.79866020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697691161359297-0.697667197433723)×R²
    abs(-0.37994787--0.37999580)×2.3963925574022e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3963925574022e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3963925574022e-05×40589641000000     		ar = 45401.951870777m²