Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57608 / 84962
↖ ↑ ↗
← S 46.984000°
W 21.774902°		 ← 208.36 m → S 46.984000°
W 21.772156°		 →
↑
208.40 m
↓
↑
208.40 m
↓
S 46.985874°
W 21.774902°		 ← 208.35 m →
43 421 m²		 S 46.985874°
W 21.772156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439517974853516 y=0.648212432861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439517974853516 × 217)
    floor (0.439517974853516 × 131072)
    floor (57608.5)     		tx = 57608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648212432861328 × 217)
    floor (0.648212432861328 × 131072)
    floor (84962.5)     		ty = 84962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57608 / 84962 ti = "17/57608/84962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57608/84962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57608 ÷ 217
    57608 ÷ 131072     		x = 0.43951416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84962 ÷ 217
    84962 ÷ 131072     		y = 0.648208618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43951416015625 × 2 - 1) × π
    -0.1209716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38004374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648208618164062 × 2 - 1) × π
    -0.296417236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.931222212019211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38004374} λ = -0.38004374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.931222212019211))-π/2
    2×atan(0.394071776657143)-π/2
    2×0.375385416076146-π/2
    0.750770832152293-1.57079632675     		φ = -0.82002549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38004374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.774902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82002549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.984000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57608 KachelY 84962 -0.38004374 -0.82002549 -21.774902 -46.984000
    Oben rechts KachelX + 1 57609 KachelY 84962 -0.37999580 -0.82002549 -21.772156 -46.984000
    Unten links KachelX 57608 KachelY + 1 84963 -0.38004374 -0.82005820 -21.774902 -46.985874
    Unten rechts KachelX + 1 57609 KachelY + 1 84963 -0.37999580 -0.82005820 -21.772156 -46.985874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82002549--0.82005820) × R
    3.27099999999358e-05 × 6371000     		dl = 208.395409999591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82002549--0.82005820) × R
    3.27099999999358e-05 × 6371000     		dr = 208.395409999591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38004374--0.37999580) × cos(-0.82002549) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682202570158783 × 6371000     		do = 208.362224820753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38004374--0.37999580) × cos(-0.82005820) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682178653444924 × 6371000     		du = 208.354920040724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82002549)-sin(-0.82005820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682202570158783-0.682178653444924)×R²
    abs(-0.37999580--0.38004374)×2.39167138585961e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39167138585961e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39167138585961e-05×40589641000000     		ar = 43420.9701324632m²