Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57608 / 84782
↖ ↑ ↗
← S 46.645665°
W 21.774902°		 ← 209.68 m → S 46.645665°
W 21.772156°		 →
↑
209.67 m
↓
↑
209.67 m
↓
S 46.647551°
W 21.774902°		 ← 209.67 m →
43 962 m²		 S 46.647551°
W 21.772156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439517974853516 y=0.646839141845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439517974853516 × 217)
    floor (0.439517974853516 × 131072)
    floor (57608.5)     		tx = 57608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646839141845703 × 217)
    floor (0.646839141845703 × 131072)
    floor (84782.5)     		ty = 84782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57608 / 84782 ti = "17/57608/84782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57608/84782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57608 ÷ 217
    57608 ÷ 131072     		x = 0.43951416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84782 ÷ 217
    84782 ÷ 131072     		y = 0.646835327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43951416015625 × 2 - 1) × π
    -0.1209716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38004374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646835327148438 × 2 - 1) × π
    -0.293670654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.922593570087601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38004374} λ = -0.38004374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.922593570087601))-π/2
    2×atan(0.39748679320246)-π/2
    2×0.378337943709739-π/2
    0.756675887419477-1.57079632675     		φ = -0.81412044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38004374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.774902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81412044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.645665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57608 KachelY 84782 -0.38004374 -0.81412044 -21.774902 -46.645665
    Oben rechts KachelX + 1 57609 KachelY 84782 -0.37999580 -0.81412044 -21.772156 -46.645665
    Unten links KachelX 57608 KachelY + 1 84783 -0.38004374 -0.81415335 -21.774902 -46.647551
    Unten rechts KachelX + 1 57609 KachelY + 1 84783 -0.37999580 -0.81415335 -21.772156 -46.647551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81412044--0.81415335) × R
    3.29100000000526e-05 × 6371000     		dl = 209.669610000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81412044--0.81415335) × R
    3.29100000000526e-05 × 6371000     		dr = 209.669610000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38004374--0.37999580) × cos(-0.81412044) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.686508206398988 × 6371000     		do = 209.677276955589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38004374--0.37999580) × cos(-0.81415335) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.686484276440402 × 6371000     		du = 209.66996813028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81412044)-sin(-0.81415335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686508206398988-0.686484276440402)×R²
    abs(-0.37999580--0.38004374)×2.3929958586133e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3929958586133e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3929958586133e-05×40589641000000     		ar = 43962.1866699334m²