Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57607 / 44390
↖ ↑ ↗
← N 50.110011°
W 21.777649°		 ← 195.87 m → N 50.110011°
W 21.774902°		 →
↑
195.91 m
↓
↑
195.91 m
↓
N 50.108249°
W 21.777649°		 ← 195.88 m →
38 374 m²		 N 50.108249°
W 21.774902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439510345458984 y=0.338672637939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439510345458984 × 217)
    floor (0.439510345458984 × 131072)
    floor (57607.5)     		tx = 57607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338672637939453 × 217)
    floor (0.338672637939453 × 131072)
    floor (44390.5)     		ty = 44390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57607 / 44390 ti = "17/57607/44390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57607/44390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57607 ÷ 217
    57607 ÷ 131072     		x = 0.439506530761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44390 ÷ 217
    44390 ÷ 131072     		y = 0.338668823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439506530761719 × 2 - 1) × π
    -0.120986938476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.38009168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338668823242188 × 2 - 1) × π
    0.322662353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01367367936571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38009168} λ = -0.38009168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01367367936571))-π/2
    2×atan(2.75570602272671)-π/2
    2×1.22269050092864-π/2
    2.44538100185729-1.57079632675     		φ = 0.87458468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38009168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.777649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87458468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.110011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57607 KachelY 44390 -0.38009168 0.87458468 -21.777649 50.110011
    Oben rechts KachelX + 1 57608 KachelY 44390 -0.38004374 0.87458468 -21.774902 50.110011
    Unten links KachelX 57607 KachelY + 1 44391 -0.38009168 0.87455393 -21.777649 50.108249
    Unten rechts KachelX + 1 57608 KachelY + 1 44391 -0.38004374 0.87455393 -21.774902 50.108249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87458468-0.87455393) × R
    3.07499999999683e-05 × 6371000     		dl = 195.908249999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87458468-0.87455393) × R
    3.07499999999683e-05 × 6371000     		dr = 195.908249999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38009168--0.38004374) × cos(0.87458468) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641315579038511 × 6371000     		do = 195.874285301237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38009168--0.38004374) × cos(0.87455393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641339172509735 × 6371000     		du = 195.881491354645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87458468)-sin(0.87455393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641315579038511-0.641339172509735)×R²
    abs(-0.38004374--0.38009168)×2.35934712241592e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35934712241592e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35934712241592e-05×40589641000000     		ar = 38374.0943191833m²