Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57606 / 85151
↖ ↑ ↗
← S 47.336961°
W 21.780395°		 ← 206.94 m → S 47.336961°
W 21.777649°		 →
↑
206.99 m
↓
↑
206.99 m
↓
S 47.338823°
W 21.780395°		 ← 206.93 m →
42 834 m²		 S 47.338823°
W 21.777649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439502716064453 y=0.649654388427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439502716064453 × 217)
    floor (0.439502716064453 × 131072)
    floor (57606.5)     		tx = 57606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649654388427734 × 217)
    floor (0.649654388427734 × 131072)
    floor (85151.5)     		ty = 85151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57606 / 85151 ti = "17/57606/85151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57606/85151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57606 ÷ 217
    57606 ÷ 131072     		x = 0.439498901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85151 ÷ 217
    85151 ÷ 131072     		y = 0.649650573730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439498901367188 × 2 - 1) × π
    -0.121002197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38013961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649650573730469 × 2 - 1) × π
    -0.299301147460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.940282286047401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38013961} λ = -0.38013961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940282286047401))-π/2
    2×atan(0.390517582133078)-π/2
    2×0.372305246168414-π/2
    0.744610492336827-1.57079632675     		φ = -0.82618583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38013961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.780395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82618583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.336961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57606 KachelY 85151 -0.38013961 -0.82618583 -21.780395 -47.336961
    Oben rechts KachelX + 1 57607 KachelY 85151 -0.38009168 -0.82618583 -21.777649 -47.336961
    Unten links KachelX 57606 KachelY + 1 85152 -0.38013961 -0.82621832 -21.780395 -47.338823
    Unten rechts KachelX + 1 57607 KachelY + 1 85152 -0.38009168 -0.82621832 -21.777649 -47.338823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82618583--0.82621832) × R
    3.24899999999406e-05 × 6371000     		dl = 206.993789999622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82618583--0.82621832) × R
    3.24899999999406e-05 × 6371000     		dr = 206.993789999622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38013961--0.38009168) × cos(-0.82618583) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.677685439940462 × 6371000     		do = 206.939401641789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38013961--0.38009168) × cos(-0.82621832) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.677661547998942 × 6371000     		du = 206.932105950026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82618583)-sin(-0.82621832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677685439940462-0.677661547998942)×R²
    abs(-0.38009168--0.38013961)×2.38919415201932e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38919415201932e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38919415201932e-05×40589641000000     		ar = 42834.4159684035m²