Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57606 / 84768
↖ ↑ ↗
← S 46.619261°
W 21.780395°		 ← 209.74 m → S 46.619261°
W 21.777649°		 →
↑
209.73 m
↓
↑
209.73 m
↓
S 46.621147°
W 21.780395°		 ← 209.73 m →
43 988 m²		 S 46.621147°
W 21.777649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439502716064453 y=0.646732330322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439502716064453 × 217)
    floor (0.439502716064453 × 131072)
    floor (57606.5)     		tx = 57606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646732330322266 × 217)
    floor (0.646732330322266 × 131072)
    floor (84768.5)     		ty = 84768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57606 / 84768 ti = "17/57606/84768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57606/84768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57606 ÷ 217
    57606 ÷ 131072     		x = 0.439498901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84768 ÷ 217
    84768 ÷ 131072     		y = 0.646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439498901367188 × 2 - 1) × π
    -0.121002197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38013961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.29345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.92192245349292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38013961} λ = -0.38013961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.92192245349292))-π/2
    2×atan(0.397753642719098)-π/2
    2×0.37856836344255-π/2
    0.757136726885099-1.57079632675     		φ = -0.81365960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38013961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.780395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81365960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.619261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57606 KachelY 84768 -0.38013961 -0.81365960 -21.780395 -46.619261
    Oben rechts KachelX + 1 57607 KachelY 84768 -0.38009168 -0.81365960 -21.777649 -46.619261
    Unten links KachelX 57606 KachelY + 1 84769 -0.38013961 -0.81369252 -21.780395 -46.621147
    Unten rechts KachelX + 1 57607 KachelY + 1 84769 -0.38009168 -0.81369252 -21.777649 -46.621147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81365960--0.81369252) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dl = 209.733319999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81365960--0.81369252) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dr = 209.733319999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38013961--0.38009168) × cos(-0.81365960) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.686843220416776 × 6371000     		do = 209.735840078333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38013961--0.38009168) × cos(-0.81369252) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.686819293604019 × 6371000     		du = 209.728533738218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81365960)-sin(-0.81369252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686843220416776-0.686819293604019)×R²
    abs(-0.38009168--0.38013961)×2.39268127577574e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39268127577574e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39268127577574e-05×40589641000000     		ar = 43987.8278751862m²