Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57605 / 84771
↖ ↑ ↗
← S 46.624920°
W 21.783142°		 ← 209.76 m → S 46.624920°
W 21.780395°		 →
↑
209.73 m
↓
↑
209.73 m
↓
S 46.626806°
W 21.783142°		 ← 209.75 m →
43 992 m²		 S 46.626806°
W 21.780395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439495086669922 y=0.646755218505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439495086669922 × 217)
    floor (0.439495086669922 × 131072)
    floor (57605.5)     		tx = 57605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646755218505859 × 217)
    floor (0.646755218505859 × 131072)
    floor (84771.5)     		ty = 84771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57605 / 84771 ti = "17/57605/84771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57605/84771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57605 ÷ 217
    57605 ÷ 131072     		x = 0.439491271972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84771 ÷ 217
    84771 ÷ 131072     		y = 0.646751403808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439491271972656 × 2 - 1) × π
    -0.121017456054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.38018755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646751403808594 × 2 - 1) × π
    -0.293502807617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.92206626419178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38018755} λ = -0.38018755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.92206626419178))-π/2
    2×atan(0.397696445602642)-π/2
    2×0.378518978321829-π/2
    0.757037956643657-1.57079632675     		φ = -0.81375837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38018755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.783142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81375837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.624920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57605 KachelY 84771 -0.38018755 -0.81375837 -21.783142 -46.624920
    Oben rechts KachelX + 1 57606 KachelY 84771 -0.38013961 -0.81375837 -21.780395 -46.624920
    Unten links KachelX 57605 KachelY + 1 84772 -0.38018755 -0.81379129 -21.783142 -46.626806
    Unten rechts KachelX + 1 57606 KachelY + 1 84772 -0.38013961 -0.81379129 -21.780395 -46.626806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81375837--0.81379129) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dl = 209.733319999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81375837--0.81379129) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dr = 209.733319999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38018755--0.38013961) × cos(-0.81375837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686771430476822 × 6371000     		do = 209.757672364104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38018755--0.38013961) × cos(-0.81379129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686747501430944 × 6371000     		du = 209.750363817559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81375837)-sin(-0.81379129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686771430476822-0.686747501430944)×R²
    abs(-0.38013961--0.38018755)×2.39290458785568e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39290458785568e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39290458785568e-05×40589641000000     		ar = 43992.4066015121m²