Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57604 / 84787
↖ ↑ ↗
← S 46.655092°
W 21.785889°		 ← 209.64 m → S 46.655092°
W 21.783142°		 →
↑
209.61 m
↓
↑
209.61 m
↓
S 46.656977°
W 21.785889°		 ← 209.63 m →
43 941 m²		 S 46.656977°
W 21.783142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439487457275391 y=0.646877288818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439487457275391 × 217)
    floor (0.439487457275391 × 131072)
    floor (57604.5)     		tx = 57604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646877288818359 × 217)
    floor (0.646877288818359 × 131072)
    floor (84787.5)     		ty = 84787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57604 / 84787 ti = "17/57604/84787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57604/84787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57604 ÷ 217
    57604 ÷ 131072     		x = 0.439483642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84787 ÷ 217
    84787 ÷ 131072     		y = 0.646873474121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439483642578125 × 2 - 1) × π
    -0.12103271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38023549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646873474121094 × 2 - 1) × π
    -0.293746948242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.922833254585701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38023549} λ = -0.38023549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.922833254585701))-π/2
    2×atan(0.397391533196559)-π/2
    2×0.37825567819143-π/2
    0.75651135638286-1.57079632675     		φ = -0.81428497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38023549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.785889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81428497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.655092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57604 KachelY 84787 -0.38023549 -0.81428497 -21.785889 -46.655092
    Oben rechts KachelX + 1 57605 KachelY 84787 -0.38018755 -0.81428497 -21.783142 -46.655092
    Unten links KachelX 57604 KachelY + 1 84788 -0.38023549 -0.81431787 -21.785889 -46.656977
    Unten rechts KachelX + 1 57605 KachelY + 1 84788 -0.38018755 -0.81431787 -21.783142 -46.656977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81428497--0.81431787) × R
    3.29000000000024e-05 × 6371000     		dl = 209.605900000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81428497--0.81431787) × R
    3.29000000000024e-05 × 6371000     		dr = 209.605900000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38023549--0.38018755) × cos(-0.81428497) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.686388563715925 × 6371000     		do = 209.640735000579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38023549--0.38018755) × cos(-0.81431787) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.68636463731308 × 6371000     		du = 209.633427261284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81428497)-sin(-0.81431787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686388563715925-0.68636463731308)×R²
    abs(-0.38018755--0.38023549)×2.39264028454311e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39264028454311e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39264028454311e-05×40589641000000     		ar = 43941.1690678852m²