Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57601 / 29439
↖ ↑ ↗
← N 69.901061°
W 21.794129°		 ← 104.96 m → N 69.901061°
W 21.791382°		 →
↑
104.93 m
↓
↑
104.93 m
↓
N 69.900118°
W 21.794129°		 ← 104.96 m →
11 013 m²		 N 69.900118°
W 21.791382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439464569091797 y=0.224605560302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439464569091797 × 217)
    floor (0.439464569091797 × 131072)
    floor (57601.5)     		tx = 57601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224605560302734 × 217)
    floor (0.224605560302734 × 131072)
    floor (29439.5)     		ty = 29439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57601 / 29439 ti = "17/57601/29439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57601/29439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57601 ÷ 217
    57601 ÷ 131072     		x = 0.439460754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29439 ÷ 217
    29439 ÷ 131072     		y = 0.224601745605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439460754394531 × 2 - 1) × π
    -0.121078491210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.38037930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224601745605469 × 2 - 1) × π
    0.550796508789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.73037826558517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38037930} λ = -0.38037930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73037826558517))-π/2
    2×atan(5.64278797727667)-π/2
    2×1.39540000020597-π/2
    2.79080000041195-1.57079632675     		φ = 1.22000367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38037930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.794129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22000367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.901061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57601 KachelY 29439 -0.38037930 1.22000367 -21.794129 69.901061
    Oben rechts KachelX + 1 57602 KachelY 29439 -0.38033136 1.22000367 -21.791382 69.901061
    Unten links KachelX 57601 KachelY + 1 29440 -0.38037930 1.21998720 -21.794129 69.900118
    Unten rechts KachelX + 1 57602 KachelY + 1 29440 -0.38033136 1.21998720 -21.791382 69.900118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22000367-1.21998720) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dl = 104.930370000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22000367-1.21998720) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dr = 104.930370000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38037930--0.38033136) × cos(1.22000367) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343642299819095 × 6371000     		do = 104.95720371748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38037930--0.38033136) × cos(1.21998720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343657766759656 × 6371000     		du = 104.961927719247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22000367)-sin(1.21998720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343642299819095-0.343657766759656)×R²
    abs(-0.38033136--0.38037930)×1.5466940561093e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5466940561093e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5466940561093e-05×40589641000000     		ar = 11013.4460660987m²