Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 576 / 1076
↖ ↑ ↗
← S  9.102097°
W 78.750000°		 ← 19.300 km → S  9.102097°
W 78.574219°		 →
↑
19.295 km
↓
↑
19.295 km
↓
S  9.275622°
W 78.750000°		 ← 19.290 km →
372.304 km²		 S  9.275622°
W 78.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281494140625 y=0.525634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281494140625 × 211)
    floor (0.281494140625 × 2048)
    floor (576.5)     		tx = 576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525634765625 × 211)
    floor (0.525634765625 × 2048)
    floor (1076.5)     		ty = 1076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 576 / 1076 ti = "11/576/1076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/576/1076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 576 ÷ 211
    576 ÷ 2048     		x = 0.28125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1076 ÷ 211
    1076 ÷ 2048     		y = 0.525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28125 × 2 - 1) × π
    -0.4375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37444679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525390625 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.159534001935547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37444679} λ = -1.37444679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159534001935547))-π/2
    2×atan(0.852540978860179)-π/2
    2×0.705967384936792-π/2
    1.41193476987358-1.57079632675     		φ = -0.15886156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37444679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15886156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.102097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 576 KachelY 1076 -1.37444679 -0.15886156 -78.750000 -9.102097
    Oben rechts KachelX + 1 577 KachelY 1076 -1.37137882 -0.15886156 -78.574219 -9.102097
    Unten links KachelX 576 KachelY + 1 1077 -1.37444679 -0.16189015 -78.750000 -9.275622
    Unten rechts KachelX + 1 577 KachelY + 1 1077 -1.37137882 -0.16189015 -78.574219 -9.275622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15886156--0.16189015) × R
    0.00302859 × 6371000     		dl = 19295.14689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15886156--0.16189015) × R
    0.00302859 × 6371000     		dr = 19295.14689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37444679--1.37137882) × cos(-0.15886156) × R
    0.00306796999999981 × 0.987408017809851 × 6371000     		do = 19299.9135218438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37444679--1.37137882) × cos(-0.16189015) × R
    0.00306796999999981 × 0.98692438473005 × 6371000     		du = 19290.4604118344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15886156)-sin(-0.16189015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987408017809851-0.98692438473005)×R²
    abs(-1.37137882--1.37444679)×0.000483633079800927×R²
    0.00306796999999981×0.000483633079800927×6371000²
    0.00306796999999981×0.000483633079800927×40589641000000     		ar = 372303751.370473m²