Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57599 / 84783
↖ ↑ ↗
← S 46.647551°
W 21.799621°		 ← 209.63 m → S 46.647551°
W 21.796875°		 →
↑
209.67 m
↓
↑
209.67 m
↓
S 46.649436°
W 21.799621°		 ← 209.62 m →
43 951 m²		 S 46.649436°
W 21.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439449310302734 y=0.646846771240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439449310302734 × 217)
    floor (0.439449310302734 × 131072)
    floor (57599.5)     		tx = 57599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646846771240234 × 217)
    floor (0.646846771240234 × 131072)
    floor (84783.5)     		ty = 84783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57599 / 84783 ti = "17/57599/84783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57599/84783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57599 ÷ 217
    57599 ÷ 131072     		x = 0.439445495605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84783 ÷ 217
    84783 ÷ 131072     		y = 0.646842956542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439445495605469 × 2 - 1) × π
    -0.121109008789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38047517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646842956542969 × 2 - 1) × π
    -0.293685913085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.922641506987221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38047517} λ = -0.38047517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.922641506987221))-π/2
    2×atan(0.397467739374648)-π/2
    2×0.378321489459008-π/2
    0.756642978918015-1.57079632675     		φ = -0.81415335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38047517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.799621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81415335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.647551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57599 KachelY 84783 -0.38047517 -0.81415335 -21.799621 -46.647551
    Oben rechts KachelX + 1 57600 KachelY 84783 -0.38042724 -0.81415335 -21.796875 -46.647551
    Unten links KachelX 57599 KachelY + 1 84784 -0.38047517 -0.81418626 -21.799621 -46.649436
    Unten rechts KachelX + 1 57600 KachelY + 1 84784 -0.38042724 -0.81418626 -21.796875 -46.649436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81415335--0.81418626) × R
    3.29100000000526e-05 × 6371000     		dl = 209.669610000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81415335--0.81418626) × R
    3.29100000000526e-05 × 6371000     		dr = 209.669610000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38047517--0.38042724) × cos(-0.81415335) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.686484276440402 × 6371000     		do = 209.626232216808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38047517--0.38042724) × cos(-0.81418626) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.686460345738307 × 6371000     		du = 209.618924689037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81415335)-sin(-0.81418626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686484276440402-0.686460345738307)×R²
    abs(-0.38042724--0.38047517)×2.39307020952761e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39307020952761e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39307020952761e-05×40589641000000     		ar = 43951.484275551m²