Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57599 / 84773
↖ ↑ ↗
← S 46.628692°
W 21.799621°		 ← 209.70 m → S 46.628692°
W 21.796875°		 →
↑
209.73 m
↓
↑
209.73 m
↓
S 46.630579°
W 21.799621°		 ← 209.69 m →
43 980 m²		 S 46.630579°
W 21.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439449310302734 y=0.646770477294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439449310302734 × 217)
    floor (0.439449310302734 × 131072)
    floor (57599.5)     		tx = 57599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646770477294922 × 217)
    floor (0.646770477294922 × 131072)
    floor (84773.5)     		ty = 84773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57599 / 84773 ti = "17/57599/84773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57599/84773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57599 ÷ 217
    57599 ÷ 131072     		x = 0.439445495605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84773 ÷ 217
    84773 ÷ 131072     		y = 0.646766662597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439445495605469 × 2 - 1) × π
    -0.121109008789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38047517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646766662597656 × 2 - 1) × π
    -0.293533325195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.92216213799102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38047517} λ = -0.38047517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.92216213799102))-π/2
    2×atan(0.39765831876117)-π/2
    2×0.378486057775832-π/2
    0.756972115551663-1.57079632675     		φ = -0.81382421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38047517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.799621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81382421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.628692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57599 KachelY 84773 -0.38047517 -0.81382421 -21.799621 -46.628692
    Oben rechts KachelX + 1 57600 KachelY 84773 -0.38042724 -0.81382421 -21.796875 -46.628692
    Unten links KachelX 57599 KachelY + 1 84774 -0.38047517 -0.81385713 -21.799621 -46.630579
    Unten rechts KachelX + 1 57600 KachelY + 1 84774 -0.38042724 -0.81385713 -21.796875 -46.630579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81382421--0.81385713) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dl = 209.733319999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81382421--0.81385713) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dr = 209.733319999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38047517--0.38042724) × cos(-0.81382421) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.686723571640819 × 6371000     		do = 209.699303884976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38047517--0.38042724) × cos(-0.81385713) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.686699641106473 × 6371000     		du = 209.69199640843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81382421)-sin(-0.81385713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686723571640819-0.686699641106473)×R²
    abs(-0.38042724--0.38047517)×2.39305343454621e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39305343454621e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39305343454621e-05×40589641000000     		ar = 43980.1648986191m²