Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57598 / 29661
↖ ↑ ↗
← N 69.690479°
W 21.802368°		 ← 106.01 m → N 69.690479°
W 21.799621°		 →
↑
106.01 m
↓
↑
106.01 m
↓
N 69.689525°
W 21.802368°		 ← 106.02 m →
11 239 m²		 N 69.689525°
W 21.799621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439441680908203 y=0.226299285888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439441680908203 × 217)
    floor (0.439441680908203 × 131072)
    floor (57598.5)     		tx = 57598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226299285888672 × 217)
    floor (0.226299285888672 × 131072)
    floor (29661.5)     		ty = 29661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57598 / 29661 ti = "17/57598/29661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57598/29661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57598 ÷ 217
    57598 ÷ 131072     		x = 0.439437866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29661 ÷ 217
    29661 ÷ 131072     		y = 0.226295471191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439437866210938 × 2 - 1) × π
    -0.121124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38052311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226295471191406 × 2 - 1) × π
    0.547409057617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.71973627386951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38052311} λ = -0.38052311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71973627386951))-π/2
    2×atan(5.5830558723826)-π/2
    2×1.39356231756268-π/2
    2.78712463512537-1.57079632675     		φ = 1.21632831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38052311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.802368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21632831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.690479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57598 KachelY 29661 -0.38052311 1.21632831 -21.802368 69.690479
    Oben rechts KachelX + 1 57599 KachelY 29661 -0.38047517 1.21632831 -21.799621 69.690479
    Unten links KachelX 57598 KachelY + 1 29662 -0.38052311 1.21631167 -21.802368 69.689525
    Unten rechts KachelX + 1 57599 KachelY + 1 29662 -0.38047517 1.21631167 -21.799621 69.689525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21632831-1.21631167) × R
    1.66399999999012e-05 × 6371000     		dl = 106.01343999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21632831-1.21631167) × R
    1.66399999999012e-05 × 6371000     		dr = 106.01343999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38052311--0.38047517) × cos(1.21632831) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.347091503889835 × 6371000     		do = 106.010679423319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38052311--0.38047517) × cos(1.21631167) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.347107109354087 × 6371000     		du = 106.015445733786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21632831)-sin(1.21631167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347091503889835-0.347107109354087)×R²
    abs(-0.38047517--0.38052311)×1.56054642517778e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56054642517778e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56054642517778e-05×40589641000000     		ar = 11238.8094491002m²