Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57597 / 84336
↖ ↑ ↗
← S 45.798170°
W 21.805115°		 ← 212.94 m → S 45.798170°
W 21.802368°		 →
↑
212.92 m
↓
↑
212.92 m
↓
S 45.800084°
W 21.805115°		 ← 212.93 m →
45 338 m²		 S 45.800084°
W 21.802368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439434051513672 y=0.643436431884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439434051513672 × 217)
    floor (0.439434051513672 × 131072)
    floor (57597.5)     		tx = 57597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643436431884766 × 217)
    floor (0.643436431884766 × 131072)
    floor (84336.5)     		ty = 84336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57597 / 84336 ti = "17/57597/84336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57597/84336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57597 ÷ 217
    57597 ÷ 131072     		x = 0.439430236816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84336 ÷ 217
    84336 ÷ 131072     		y = 0.6434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439430236816406 × 2 - 1) × π
    -0.121139526367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.38057105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6434326171875 × 2 - 1) × π
    -0.286865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.901213712857056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38057105} λ = -0.38057105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901213712857056))-π/2
    2×atan(0.406076500254827)-π/2
    2×0.385733738562399-π/2
    0.771467477124798-1.57079632675     		φ = -0.79932885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38057105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.805115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79932885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.798170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57597 KachelY 84336 -0.38057105 -0.79932885 -21.805115 -45.798170
    Oben rechts KachelX + 1 57598 KachelY 84336 -0.38052311 -0.79932885 -21.802368 -45.798170
    Unten links KachelX 57597 KachelY + 1 84337 -0.38057105 -0.79936227 -21.805115 -45.800084
    Unten rechts KachelX + 1 57598 KachelY + 1 84337 -0.38052311 -0.79936227 -21.802368 -45.800084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79932885--0.79936227) × R
    3.34200000000617e-05 × 6371000     		dl = 212.918820000393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79932885--0.79936227) × R
    3.34200000000617e-05 × 6371000     		dr = 212.918820000393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38057105--0.38052311) × cos(-0.79932885) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.69718800593834 × 6371000     		do = 212.939162632949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38057105--0.38052311) × cos(-0.79936227) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.697164047140856 × 6371000     		du = 212.931844999498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79932885)-sin(-0.79936227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69718800593834-0.697164047140856)×R²
    abs(-0.38052311--0.38057105)×2.39587974834032e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39587974834032e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39587974834032e-05×40589641000000     		ar = 45337.9762128605m²