Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57597 / 84334
↖ ↑ ↗
← S 45.794340°
W 21.805115°		 ← 212.95 m → S 45.794340°
W 21.802368°		 →
↑
212.92 m
↓
↑
212.92 m
↓
S 45.796255°
W 21.805115°		 ← 212.95 m →
45 341 m²		 S 45.796255°
W 21.802368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439434051513672 y=0.643421173095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439434051513672 × 217)
    floor (0.439434051513672 × 131072)
    floor (57597.5)     		tx = 57597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643421173095703 × 217)
    floor (0.643421173095703 × 131072)
    floor (84334.5)     		ty = 84334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57597 / 84334 ti = "17/57597/84334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57597/84334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57597 ÷ 217
    57597 ÷ 131072     		x = 0.439430236816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84334 ÷ 217
    84334 ÷ 131072     		y = 0.643417358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439430236816406 × 2 - 1) × π
    -0.121139526367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.38057105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643417358398438 × 2 - 1) × π
    -0.286834716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.901117839057816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38057105} λ = -0.38057105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901117839057816))-π/2
    2×atan(0.406115434218032)-π/2
    2×0.385767160742396-π/2
    0.771534321484792-1.57079632675     		φ = -0.79926201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38057105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.805115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79926201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.794340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57597 KachelY 84334 -0.38057105 -0.79926201 -21.805115 -45.794340
    Oben rechts KachelX + 1 57598 KachelY 84334 -0.38052311 -0.79926201 -21.802368 -45.794340
    Unten links KachelX 57597 KachelY + 1 84335 -0.38057105 -0.79929543 -21.805115 -45.796255
    Unten rechts KachelX + 1 57598 KachelY + 1 84335 -0.38052311 -0.79929543 -21.802368 -45.796255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79926201--0.79929543) × R
    3.34200000000617e-05 × 6371000     		dl = 212.918820000393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79926201--0.79929543) × R
    3.34200000000617e-05 × 6371000     		dr = 212.918820000393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38057105--0.38052311) × cos(-0.79926201) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.69723592119722 × 6371000     		do = 212.953797186349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38057105--0.38052311) × cos(-0.79929543) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.697211963957136 × 6371000     		du = 212.946480028569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79926201)-sin(-0.79929543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69723592119722-0.697211963957136)×R²
    abs(-0.38052311--0.38057105)×2.39572400830834e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39572400830834e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39572400830834e-05×40589641000000     		ar = 45341.0922354843m²