Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57596 / 85788
↖ ↑ ↗
← S 48.509326°
W 21.807861°		 ← 202.30 m → S 48.509326°
W 21.805115°		 →
↑
202.34 m
↓
↑
202.34 m
↓
S 48.511146°
W 21.807861°		 ← 202.29 m →
40 934 m²		 S 48.511146°
W 21.805115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439426422119141 y=0.654514312744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439426422119141 × 217)
    floor (0.439426422119141 × 131072)
    floor (57596.5)     		tx = 57596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654514312744141 × 217)
    floor (0.654514312744141 × 131072)
    floor (85788.5)     		ty = 85788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57596 / 85788 ti = "17/57596/85788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57596/85788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57596 ÷ 217
    57596 ÷ 131072     		x = 0.439422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85788 ÷ 217
    85788 ÷ 131072     		y = 0.654510498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439422607421875 × 2 - 1) × π
    -0.12115478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38061898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654510498046875 × 2 - 1) × π
    -0.30902099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.970818091105377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38061898} λ = -0.38061898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970818091105377))-π/2
    2×atan(0.378773040462173)-π/2
    2×0.362074431170043-π/2
    0.724148862340086-1.57079632675     		φ = -0.84664746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38061898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.807861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84664746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.509326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57596 KachelY 85788 -0.38061898 -0.84664746 -21.807861 -48.509326
    Oben rechts KachelX + 1 57597 KachelY 85788 -0.38057105 -0.84664746 -21.805115 -48.509326
    Unten links KachelX 57596 KachelY + 1 85789 -0.38061898 -0.84667922 -21.807861 -48.511146
    Unten rechts KachelX + 1 57597 KachelY + 1 85789 -0.38057105 -0.84667922 -21.805115 -48.511146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84664746--0.84667922) × R
    3.17599999999363e-05 × 6371000     		dl = 202.342959999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84664746--0.84667922) × R
    3.17599999999363e-05 × 6371000     		dr = 202.342959999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38061898--0.38057105) × cos(-0.84664746) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.662498129831394 × 6371000     		do = 202.301773796408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38061898--0.38057105) × cos(-0.84667922) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.662474339238368 × 6371000     		du = 202.294509052626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84664746)-sin(-0.84667922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662498129831394-0.662474339238368)×R²
    abs(-0.38057105--0.38061898)×2.37905930259297e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37905930259297e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37905930259297e-05×40589641000000     		ar = 40933.6047415741m²