Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57596 / 84330
↖ ↑ ↗
← S 45.786679°
W 21.807861°		 ← 212.94 m → S 45.786679°
W 21.805115°		 →
↑
212.98 m
↓
↑
212.98 m
↓
S 45.788594°
W 21.807861°		 ← 212.93 m →
45 351 m²		 S 45.788594°
W 21.805115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439426422119141 y=0.643390655517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439426422119141 × 217)
    floor (0.439426422119141 × 131072)
    floor (57596.5)     		tx = 57596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643390655517578 × 217)
    floor (0.643390655517578 × 131072)
    floor (84330.5)     		ty = 84330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57596 / 84330 ti = "17/57596/84330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57596/84330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57596 ÷ 217
    57596 ÷ 131072     		x = 0.439422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84330 ÷ 217
    84330 ÷ 131072     		y = 0.643386840820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439422607421875 × 2 - 1) × π
    -0.12115478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38061898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643386840820312 × 2 - 1) × π
    -0.286773681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.900926091459335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38061898} λ = -0.38061898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900926091459335))-π/2
    2×atan(0.406193313343578)-π/2
    2×0.385834011993588-π/2
    0.771668023987175-1.57079632675     		φ = -0.79912830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38061898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.807861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79912830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.786679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57596 KachelY 84330 -0.38061898 -0.79912830 -21.807861 -45.786679
    Oben rechts KachelX + 1 57597 KachelY 84330 -0.38057105 -0.79912830 -21.805115 -45.786679
    Unten links KachelX 57596 KachelY + 1 84331 -0.38061898 -0.79916173 -21.807861 -45.788594
    Unten rechts KachelX + 1 57597 KachelY + 1 84331 -0.38057105 -0.79916173 -21.805115 -45.788594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79912830--0.79916173) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dl = 212.982530000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79912830--0.79916173) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dr = 212.982530000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38061898--0.38057105) × cos(-0.79912830) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.697331763872337 × 6371000     		do = 212.938642999421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38061898--0.38057105) × cos(-0.79916173) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.697307802580356 × 6371000     		du = 212.931326130661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79912830)-sin(-0.79916173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697331763872337-0.697307802580356)×R²
    abs(-0.38057105--0.38061898)×2.39612919802346e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39612919802346e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39612919802346e-05×40589641000000     		ar = 45351.4317423153m²