Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57594 / 85789
↖ ↑ ↗
← S 48.511146°
W 21.813355°		 ← 202.34 m → S 48.511146°
W 21.810608°		 →
↑
202.34 m
↓
↑
202.34 m
↓
S 48.512966°
W 21.813355°		 ← 202.33 m →
40 941 m²		 S 48.512966°
W 21.810608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439411163330078 y=0.654521942138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439411163330078 × 217)
    floor (0.439411163330078 × 131072)
    floor (57594.5)     		tx = 57594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654521942138672 × 217)
    floor (0.654521942138672 × 131072)
    floor (85789.5)     		ty = 85789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57594 / 85789 ti = "17/57594/85789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57594/85789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57594 ÷ 217
    57594 ÷ 131072     		x = 0.439407348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85789 ÷ 217
    85789 ÷ 131072     		y = 0.654518127441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439407348632812 × 2 - 1) × π
    -0.121185302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38071486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654518127441406 × 2 - 1) × π
    -0.309036254882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.970866028004997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38071486} λ = -0.38071486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970866028004997))-π/2
    2×atan(0.378754883692147)-π/2
    2×0.362058552402039-π/2
    0.724117104804077-1.57079632675     		φ = -0.84667922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38071486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.813355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84667922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.511146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57594 KachelY 85789 -0.38071486 -0.84667922 -21.813355 -48.511146
    Oben rechts KachelX + 1 57595 KachelY 85789 -0.38066692 -0.84667922 -21.810608 -48.511146
    Unten links KachelX 57594 KachelY + 1 85790 -0.38071486 -0.84671098 -21.813355 -48.512966
    Unten rechts KachelX + 1 57595 KachelY + 1 85790 -0.38066692 -0.84671098 -21.810608 -48.512966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84667922--0.84671098) × R
    3.17600000000473e-05 × 6371000     		dl = 202.342960000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84667922--0.84671098) × R
    3.17600000000473e-05 × 6371000     		dr = 202.342960000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38071486--0.38066692) × cos(-0.84667922) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662474339238368 × 6371000     		do = 202.336715292757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38071486--0.38066692) × cos(-0.84671098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662450547977106 × 6371000     		du = 202.32944882918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84667922)-sin(-0.84671098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662474339238368-0.662450547977106)×R²
    abs(-0.38066692--0.38071486)×2.37912612622848e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37912612622848e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37912612622848e-05×40589641000000     		ar = 40940.6747336748m²