Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57593 / 84792
↖ ↑ ↗
← S 46.664517°
W 21.816101°		 ← 209.56 m → S 46.664517°
W 21.813355°		 →
↑
209.61 m
↓
↑
209.61 m
↓
S 46.666402°
W 21.816101°		 ← 209.55 m →
43 924 m²		 S 46.666402°
W 21.813355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439403533935547 y=0.646915435791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439403533935547 × 217)
    floor (0.439403533935547 × 131072)
    floor (57593.5)     		tx = 57593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646915435791016 × 217)
    floor (0.646915435791016 × 131072)
    floor (84792.5)     		ty = 84792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57593 / 84792 ti = "17/57593/84792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57593/84792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57593 ÷ 217
    57593 ÷ 131072     		x = 0.439399719238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84792 ÷ 217
    84792 ÷ 131072     		y = 0.64691162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439399719238281 × 2 - 1) × π
    -0.121200561523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38076279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64691162109375 × 2 - 1) × π
    -0.2938232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.923072939083801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38076279} λ = -0.38076279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.923072939083801))-π/2
    2×atan(0.397296296020269)-π/2
    2×0.378173427011324-π/2
    0.756346854022647-1.57079632675     		φ = -0.81444947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38076279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.816101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81444947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.664517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57593 KachelY 84792 -0.38076279 -0.81444947 -21.816101 -46.664517
    Oben rechts KachelX + 1 57594 KachelY 84792 -0.38071486 -0.81444947 -21.813355 -46.664517
    Unten links KachelX 57593 KachelY + 1 84793 -0.38076279 -0.81448237 -21.816101 -46.666402
    Unten rechts KachelX + 1 57594 KachelY + 1 84793 -0.38071486 -0.81448237 -21.813355 -46.666402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81444947--0.81448237) × R
    3.29000000000024e-05 × 6371000     		dl = 209.605900000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81444947--0.81448237) × R
    3.29000000000024e-05 × 6371000     		dr = 209.605900000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38076279--0.38071486) × cos(-0.81444947) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.686268924272678 × 6371000     		do = 209.560471841949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38076279--0.38071486) × cos(-0.81448237) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.686244994155452 × 6371000     		du = 209.553164492775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81444947)-sin(-0.81448237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686268924272678-0.686244994155452)×R²
    abs(-0.38071486--0.38076279)×2.3930117226123e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3930117226123e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3930117226123e-05×40589641000000     		ar = 43924.3454771164m²