Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57593 / 84781
↖ ↑ ↗
← S 46.643780°
W 21.816101°		 ← 209.64 m → S 46.643780°
W 21.813355°		 →
↑
209.67 m
↓
↑
209.67 m
↓
S 46.645665°
W 21.816101°		 ← 209.63 m →
43 955 m²		 S 46.645665°
W 21.813355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439403533935547 y=0.646831512451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439403533935547 × 217)
    floor (0.439403533935547 × 131072)
    floor (57593.5)     		tx = 57593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646831512451172 × 217)
    floor (0.646831512451172 × 131072)
    floor (84781.5)     		ty = 84781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57593 / 84781 ti = "17/57593/84781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57593/84781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57593 ÷ 217
    57593 ÷ 131072     		x = 0.439399719238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84781 ÷ 217
    84781 ÷ 131072     		y = 0.646827697753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439399719238281 × 2 - 1) × π
    -0.121200561523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38076279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646827697753906 × 2 - 1) × π
    -0.293655395507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.922545633187981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38076279} λ = -0.38076279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.922545633187981))-π/2
    2×atan(0.397505847943675)-π/2
    2×0.378354398534009-π/2
    0.756708797068017-1.57079632675     		φ = -0.81408753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38076279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.816101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81408753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.643780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57593 KachelY 84781 -0.38076279 -0.81408753 -21.816101 -46.643780
    Oben rechts KachelX + 1 57594 KachelY 84781 -0.38071486 -0.81408753 -21.813355 -46.643780
    Unten links KachelX 57593 KachelY + 1 84782 -0.38076279 -0.81412044 -21.816101 -46.645665
    Unten rechts KachelX + 1 57594 KachelY + 1 84782 -0.38071486 -0.81412044 -21.813355 -46.645665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81408753--0.81412044) × R
    3.29099999999416e-05 × 6371000     		dl = 209.669609999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81408753--0.81412044) × R
    3.29099999999416e-05 × 6371000     		dr = 209.669609999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38076279--0.38071486) × cos(-0.81408753) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.686532135614039 × 6371000     		do = 209.640846591467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38076279--0.38071486) × cos(-0.81412044) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.686508206398988 × 6371000     		du = 209.633539517782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81408753)-sin(-0.81412044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686532135614039-0.686508206398988)×R²
    abs(-0.38071486--0.38076279)×2.39292150507886e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39292150507886e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39292150507886e-05×40589641000000     		ar = 43954.5485131326m²