Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57592 / 84776
↖ ↑ ↗
← S 46.634350°
W 21.818848°		 ← 209.72 m → S 46.634350°
W 21.816101°		 →
↑
209.73 m
↓
↑
209.73 m
↓
S 46.636237°
W 21.818848°		 ← 209.71 m →
43 985 m²		 S 46.636237°
W 21.816101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439395904541016 y=0.646793365478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439395904541016 × 217)
    floor (0.439395904541016 × 131072)
    floor (57592.5)     		tx = 57592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646793365478516 × 217)
    floor (0.646793365478516 × 131072)
    floor (84776.5)     		ty = 84776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57592 / 84776 ti = "17/57592/84776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57592/84776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57592 ÷ 217
    57592 ÷ 131072     		x = 0.43939208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84776 ÷ 217
    84776 ÷ 131072     		y = 0.64678955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43939208984375 × 2 - 1) × π
    -0.1212158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38081073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64678955078125 × 2 - 1) × π
    -0.2935791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.92230594868988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38081073} λ = -0.38081073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.92230594868988))-π/2
    2×atan(0.397601135352332)-π/2
    2×0.378436681258519-π/2
    0.756873362517038-1.57079632675     		φ = -0.81392296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38081073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.818848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81392296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.634350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57592 KachelY 84776 -0.38081073 -0.81392296 -21.818848 -46.634350
    Oben rechts KachelX + 1 57593 KachelY 84776 -0.38076279 -0.81392296 -21.816101 -46.634350
    Unten links KachelX 57592 KachelY + 1 84777 -0.38081073 -0.81395588 -21.818848 -46.636237
    Unten rechts KachelX + 1 57593 KachelY + 1 84777 -0.38076279 -0.81395588 -21.816101 -46.636237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81392296--0.81395588) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dl = 209.733319999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81392296--0.81395588) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dr = 209.733319999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38081073--0.38076279) × cos(-0.81392296) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686651785075089 × 6371000     		do = 209.721129578743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38081073--0.38076279) × cos(-0.81395588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686627852308464 × 6371000     		du = 209.713819895786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81392296)-sin(-0.81395588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686651785075089-0.686627852308464)×R²
    abs(-0.38076279--0.38081073)×2.39327666252676e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39327666252676e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39327666252676e-05×40589641000000     		ar = 43984.7422426777m²