Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57590 / 84950
↖ ↑ ↗
← S 46.961511°
W 21.824341°		 ← 208.41 m → S 46.961511°
W 21.821594°		 →
↑
208.46 m
↓
↑
208.46 m
↓
S 46.963385°
W 21.824341°		 ← 208.40 m →
43 443 m²		 S 46.963385°
W 21.821594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439380645751953 y=0.648120880126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439380645751953 × 217)
    floor (0.439380645751953 × 131072)
    floor (57590.5)     		tx = 57590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648120880126953 × 217)
    floor (0.648120880126953 × 131072)
    floor (84950.5)     		ty = 84950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57590 / 84950 ti = "17/57590/84950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57590/84950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57590 ÷ 217
    57590 ÷ 131072     		x = 0.439376831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84950 ÷ 217
    84950 ÷ 131072     		y = 0.648117065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439376831054688 × 2 - 1) × π
    -0.121246337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38090660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648117065429688 × 2 - 1) × π
    -0.296234130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.93064696922377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38090660} λ = -0.38090660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93064696922377))-π/2
    2×atan(0.394298528820072)-π/2
    2×0.375581673396555-π/2
    0.751163346793111-1.57079632675     		φ = -0.81963298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38090660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.824341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81963298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.961511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57590 KachelY 84950 -0.38090660 -0.81963298 -21.824341 -46.961511
    Oben rechts KachelX + 1 57591 KachelY 84950 -0.38085867 -0.81963298 -21.821594 -46.961511
    Unten links KachelX 57590 KachelY + 1 84951 -0.38090660 -0.81966570 -21.824341 -46.963385
    Unten rechts KachelX + 1 57591 KachelY + 1 84951 -0.38085867 -0.81966570 -21.821594 -46.963385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81963298--0.81966570) × R
    3.27200000000971e-05 × 6371000     		dl = 208.459120000619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81963298--0.81966570) × R
    3.27200000000971e-05 × 6371000     		dr = 208.459120000619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38090660--0.38085867) × cos(-0.81963298) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.682489506475162 × 6371000     		do = 208.40638115084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38090660--0.38085867) × cos(-0.81966570) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.682465591212615 × 6371000     		du = 208.399078337721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81963298)-sin(-0.81966570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682489506475162-0.682465591212615)×R²
    abs(-0.38085867--0.38090660)×2.39152625470807e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39152625470807e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39152625470807e-05×40589641000000     		ar = 43443.4496519166m²