Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57590 / 29650
↖ ↑ ↗
← N 69.700963°
W 21.824341°		 ← 105.94 m → N 69.700963°
W 21.821594°		 →
↑
105.95 m
↓
↑
105.95 m
↓
N 69.700010°
W 21.824341°		 ← 105.94 m →
11 224 m²		 N 69.700010°
W 21.821594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439380645751953 y=0.226215362548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439380645751953 × 217)
    floor (0.439380645751953 × 131072)
    floor (57590.5)     		tx = 57590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226215362548828 × 217)
    floor (0.226215362548828 × 131072)
    floor (29650.5)     		ty = 29650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57590 / 29650 ti = "17/57590/29650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57590/29650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57590 ÷ 217
    57590 ÷ 131072     		x = 0.439376831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29650 ÷ 217
    29650 ÷ 131072     		y = 0.226211547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439376831054688 × 2 - 1) × π
    -0.121246337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38090660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226211547851562 × 2 - 1) × π
    0.547576904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72026357976534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38090660} λ = -0.38090660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72026357976534))-π/2
    2×atan(5.5860006269858)-π/2
    2×1.39365380663715-π/2
    2.78730761327429-1.57079632675     		φ = 1.21651129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38090660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.824341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21651129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.700963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57590 KachelY 29650 -0.38090660 1.21651129 -21.824341 69.700963
    Oben rechts KachelX + 1 57591 KachelY 29650 -0.38085867 1.21651129 -21.821594 69.700963
    Unten links KachelX 57590 KachelY + 1 29651 -0.38090660 1.21649466 -21.824341 69.700010
    Unten rechts KachelX + 1 57591 KachelY + 1 29651 -0.38085867 1.21649466 -21.821594 69.700010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21651129-1.21649466) × R
    1.6629999999962e-05 × 6371000     		dl = 105.949729999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21651129-1.21649466) × R
    1.6629999999962e-05 × 6371000     		dr = 105.949729999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38090660--0.38085867) × cos(1.21651129) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.346919893714703 × 6371000     		do = 105.936162992048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38090660--0.38085867) × cos(1.21649466) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.346935490856648 × 6371000     		du = 105.940925766975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21651129)-sin(1.21649466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346919893714703-0.346935490856648)×R²
    abs(-0.38085867--0.38090660)×1.55971419442125e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.55971419442125e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.55971419442125e-05×40589641000000     		ar = 11224.160173633m²