Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57589 / 85739
↖ ↑ ↗
← S 48.420087°
W 21.827087°		 ← 202.70 m → S 48.420087°
W 21.824341°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
S 48.421910°
W 21.827087°		 ← 202.69 m →
41 079 m²		 S 48.421910°
W 21.824341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439373016357422 y=0.654140472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439373016357422 × 217)
    floor (0.439373016357422 × 131072)
    floor (57589.5)     		tx = 57589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654140472412109 × 217)
    floor (0.654140472412109 × 131072)
    floor (85739.5)     		ty = 85739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57589 / 85739 ti = "17/57589/85739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57589/85739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57589 ÷ 217
    57589 ÷ 131072     		x = 0.439369201660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85739 ÷ 217
    85739 ÷ 131072     		y = 0.654136657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439369201660156 × 2 - 1) × π
    -0.121261596679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.38095454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654136657714844 × 2 - 1) × π
    -0.308273315429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.968469183023994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38095454} λ = -0.38095454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968469183023994))-π/2
    2×atan(0.379663789251891)-π/2
    2×0.362853189361611-π/2
    0.725706378723221-1.57079632675     		φ = -0.84508995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38095454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.827087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84508995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.420087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57589 KachelY 85739 -0.38095454 -0.84508995 -21.827087 -48.420087
    Oben rechts KachelX + 1 57590 KachelY 85739 -0.38090660 -0.84508995 -21.824341 -48.420087
    Unten links KachelX 57589 KachelY + 1 85740 -0.38095454 -0.84512176 -21.827087 -48.421910
    Unten rechts KachelX + 1 57590 KachelY + 1 85740 -0.38090660 -0.84512176 -21.824341 -48.421910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84508995--0.84512176) × R
    3.18100000000765e-05 × 6371000     		dl = 202.661510000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84508995--0.84512176) × R
    3.18100000000765e-05 × 6371000     		dr = 202.661510000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38095454--0.38090660) × cos(-0.84508995) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663663999800316 × 6371000     		do = 202.700068250473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38095454--0.38090660) × cos(-0.84512176) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663640204604425 × 6371000     		du = 202.69280058516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84508995)-sin(-0.84512176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663663999800316-0.663640204604425)×R²
    abs(-0.38090660--0.38095454)×2.37951958915739e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37951958915739e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37951958915739e-05×40589641000000     		ar = 41078.7654742317m²