Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57588 / 85741
↖ ↑ ↗
← S 48.423733°
W 21.829834°		 ← 202.69 m → S 48.423733°
W 21.827087°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
S 48.425555°
W 21.829834°		 ← 202.68 m →
41 076 m²		 S 48.425555°
W 21.827087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439365386962891 y=0.654155731201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439365386962891 × 217)
    floor (0.439365386962891 × 131072)
    floor (57588.5)     		tx = 57588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654155731201172 × 217)
    floor (0.654155731201172 × 131072)
    floor (85741.5)     		ty = 85741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57588 / 85741 ti = "17/57588/85741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57588/85741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57588 ÷ 217
    57588 ÷ 131072     		x = 0.439361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85741 ÷ 217
    85741 ÷ 131072     		y = 0.654151916503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439361572265625 × 2 - 1) × π
    -0.12127685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38100248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654151916503906 × 2 - 1) × π
    -0.308303833007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.968565056823235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38100248} λ = -0.38100248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968565056823235))-π/2
    2×atan(0.379627391186819)-π/2
    2×0.362821376507791-π/2
    0.725642753015582-1.57079632675     		φ = -0.84515357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38100248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.829834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84515357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.423733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57588 KachelY 85741 -0.38100248 -0.84515357 -21.829834 -48.423733
    Oben rechts KachelX + 1 57589 KachelY 85741 -0.38095454 -0.84515357 -21.827087 -48.423733
    Unten links KachelX 57588 KachelY + 1 85742 -0.38100248 -0.84518538 -21.829834 -48.425555
    Unten rechts KachelX + 1 57589 KachelY + 1 85742 -0.38095454 -0.84518538 -21.827087 -48.425555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84515357--0.84518538) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dl = 202.66150999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84515357--0.84518538) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dr = 202.66150999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38100248--0.38095454) × cos(-0.84515357) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663616408737012 × 6371000     		do = 202.685532714511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38100248--0.38095454) × cos(-0.84518538) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663592612198101 × 6371000     		du = 202.678264639005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84515357)-sin(-0.84518538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663616408737012-0.663592612198101)×R²
    abs(-0.38095454--0.38100248)×2.37965389108252e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37965389108252e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37965389108252e-05×40589641000000     		ar = 41075.8196389268m²