Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57584 / 84795
↖ ↑ ↗
← S 46.670172°
W 21.840821°		 ← 209.58 m → S 46.670172°
W 21.838074°		 →
↑
209.54 m
↓
↑
209.54 m
↓
S 46.672056°
W 21.840821°		 ← 209.57 m →
43 916 m²		 S 46.672056°
W 21.838074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439334869384766 y=0.646938323974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439334869384766 × 217)
    floor (0.439334869384766 × 131072)
    floor (57584.5)     		tx = 57584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646938323974609 × 217)
    floor (0.646938323974609 × 131072)
    floor (84795.5)     		ty = 84795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57584 / 84795 ti = "17/57584/84795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57584/84795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57584 ÷ 217
    57584 ÷ 131072     		x = 0.4393310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84795 ÷ 217
    84795 ÷ 131072     		y = 0.646934509277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4393310546875 × 2 - 1) × π
    -0.121337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38119423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646934509277344 × 2 - 1) × π
    -0.293869018554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.923216749782661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38119423} λ = -0.38119423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.923216749782661))-π/2
    2×atan(0.397239164670432)-π/2
    2×0.378124083185483-π/2
    0.756248166370966-1.57079632675     		φ = -0.81454816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38119423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.840821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81454816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.670172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57584 KachelY 84795 -0.38119423 -0.81454816 -21.840821 -46.670172
    Oben rechts KachelX + 1 57585 KachelY 84795 -0.38114629 -0.81454816 -21.838074 -46.670172
    Unten links KachelX 57584 KachelY + 1 84796 -0.38119423 -0.81458105 -21.840821 -46.672056
    Unten rechts KachelX + 1 57585 KachelY + 1 84796 -0.38114629 -0.81458105 -21.838074 -46.672056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81454816--0.81458105) × R
    3.28900000000631e-05 × 6371000     		dl = 209.542190000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81454816--0.81458105) × R
    3.28900000000631e-05 × 6371000     		dr = 209.542190000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38119423--0.38114629) × cos(-0.81454816) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.686197138966786 × 6371000     		do = 209.582268954919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38119423--0.38114629) × cos(-0.81458105) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.68617321389585 × 6371000     		du = 209.574961622424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81454816)-sin(-0.81458105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686197138966786-0.68617321389585)×R²
    abs(-0.38114629--0.38119423)×2.39250709361816e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39250709361816e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39250709361816e-05×40589641000000     		ar = 43915.5620288128m²