Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57584 / 44181
↖ ↑ ↗
← N 50.476735°
W 21.840821°		 ← 194.37 m → N 50.476735°
W 21.838074°		 →
↑
194.38 m
↓
↑
194.38 m
↓
N 50.474987°
W 21.840821°		 ← 194.38 m →
37 782 m²		 N 50.474987°
W 21.838074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439334869384766 y=0.337078094482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439334869384766 × 217)
    floor (0.439334869384766 × 131072)
    floor (57584.5)     		tx = 57584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337078094482422 × 217)
    floor (0.337078094482422 × 131072)
    floor (44181.5)     		ty = 44181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57584 / 44181 ti = "17/57584/44181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57584/44181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57584 ÷ 217
    57584 ÷ 131072     		x = 0.4393310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44181 ÷ 217
    44181 ÷ 131072     		y = 0.337074279785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4393310546875 × 2 - 1) × π
    -0.121337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38119423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337074279785156 × 2 - 1) × π
    0.325851440429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.0236924913863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38119423} λ = -0.38119423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0236924913863))-π/2
    2×atan(2.78345369058559)-π/2
    2×1.22589077275219-π/2
    2.45178154550438-1.57079632675     		φ = 0.88098522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38119423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.840821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88098522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.476735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57584 KachelY 44181 -0.38119423 0.88098522 -21.840821 50.476735
    Oben rechts KachelX + 1 57585 KachelY 44181 -0.38114629 0.88098522 -21.838074 50.476735
    Unten links KachelX 57584 KachelY + 1 44182 -0.38119423 0.88095471 -21.840821 50.474987
    Unten rechts KachelX + 1 57585 KachelY + 1 44182 -0.38114629 0.88095471 -21.838074 50.474987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88098522-0.88095471) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dl = 194.379209999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88098522-0.88095471) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dr = 194.379209999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38119423--0.38114629) × cos(0.88098522) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63639148773511 × 6371000     		do = 194.370341071295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38119423--0.38114629) × cos(0.88095471) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.636415021822856 × 6371000     		du = 194.37752898746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88098522)-sin(0.88095471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63639148773511-0.636415021822856)×R²
    abs(-0.38114629--0.38119423)×2.35340877459134e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35340877459134e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35340877459134e-05×40589641000000     		ar = 37782.2519383882m²