Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57582 / 85751
↖ ↑ ↗
← S 48.441956°
W 21.846314°		 ← 202.61 m → S 48.441956°
W 21.843567°		 →
↑
202.60 m
↓
↑
202.60 m
↓
S 48.443778°
W 21.846314°		 ← 202.61 m →
41 048 m²		 S 48.443778°
W 21.843567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439319610595703 y=0.654232025146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439319610595703 × 217)
    floor (0.439319610595703 × 131072)
    floor (57582.5)     		tx = 57582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654232025146484 × 217)
    floor (0.654232025146484 × 131072)
    floor (85751.5)     		ty = 85751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57582 / 85751 ti = "17/57582/85751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57582/85751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57582 ÷ 217
    57582 ÷ 131072     		x = 0.439315795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85751 ÷ 217
    85751 ÷ 131072     		y = 0.654228210449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439315795898438 × 2 - 1) × π
    -0.121368408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38129010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654228210449219 × 2 - 1) × π
    -0.308456420898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.969044425819435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38129010} λ = -0.38129010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969044425819435))-π/2
    2×atan(0.379445453196576)-π/2
    2×0.362662346461323-π/2
    0.725324692922646-1.57079632675     		φ = -0.84547163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38129010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.846314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84547163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.441956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57582 KachelY 85751 -0.38129010 -0.84547163 -21.846314 -48.441956
    Oben rechts KachelX + 1 57583 KachelY 85751 -0.38124216 -0.84547163 -21.843567 -48.441956
    Unten links KachelX 57582 KachelY + 1 85752 -0.38129010 -0.84550343 -21.846314 -48.443778
    Unten rechts KachelX + 1 57583 KachelY + 1 85752 -0.38124216 -0.84550343 -21.843567 -48.443778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84547163--0.84550343) × R
    3.17999999999152e-05 × 6371000     		dl = 202.59779999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84547163--0.84550343) × R
    3.17999999999152e-05 × 6371000     		dr = 202.59779999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38129010--0.38124216) × cos(-0.84547163) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663378443065849 × 6371000     		do = 202.612851873537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38129010--0.38124216) × cos(-0.84550343) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663354647297183 × 6371000     		du = 202.605584033283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84547163)-sin(-0.84550343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663378443065849-0.663354647297183)×R²
    abs(-0.38124216--0.38129010)×2.37957686662904e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37957686662904e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37957686662904e-05×40589641000000     		ar = 41048.1818203534m²