Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57582 / 85258
↖ ↑ ↗
← S 47.535747°
W 21.846314°		 ← 206.20 m → S 47.535747°
W 21.843567°		 →
↑
206.17 m
↓
↑
206.17 m
↓
S 47.537601°
W 21.846314°		 ← 206.19 m →
42 511 m²		 S 47.537601°
W 21.843567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439319610595703 y=0.650470733642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439319610595703 × 217)
    floor (0.439319610595703 × 131072)
    floor (57582.5)     		tx = 57582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650470733642578 × 217)
    floor (0.650470733642578 × 131072)
    floor (85258.5)     		ty = 85258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57582 / 85258 ti = "17/57582/85258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57582/85258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57582 ÷ 217
    57582 ÷ 131072     		x = 0.439315795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85258 ÷ 217
    85258 ÷ 131072     		y = 0.650466918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439315795898438 × 2 - 1) × π
    -0.121368408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38129010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650466918945312 × 2 - 1) × π
    -0.300933837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.945411534306747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38129010} λ = -0.38129010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.945411534306747))-π/2
    2×atan(0.388519648832961)-π/2
    2×0.370570514823961-π/2
    0.741141029647922-1.57079632675     		φ = -0.82965530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38129010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.846314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82965530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.535747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57582 KachelY 85258 -0.38129010 -0.82965530 -21.846314 -47.535747
    Oben rechts KachelX + 1 57583 KachelY 85258 -0.38124216 -0.82965530 -21.843567 -47.535747
    Unten links KachelX 57582 KachelY + 1 85259 -0.38129010 -0.82968766 -21.846314 -47.537601
    Unten rechts KachelX + 1 57583 KachelY + 1 85259 -0.38124216 -0.82968766 -21.843567 -47.537601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82965530--0.82968766) × R
    3.23600000000646e-05 × 6371000     		dl = 206.165560000411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82965530--0.82968766) × R
    3.23600000000646e-05 × 6371000     		dr = 206.165560000411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38129010--0.38124216) × cos(-0.82965530) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.675130084916127 × 6371000     		do = 206.202105781875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38129010--0.38124216) × cos(-0.82968766) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.675106212632789 × 6371000     		du = 206.194814572071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82965530)-sin(-0.82968766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675130084916127-0.675106212632789)×R²
    abs(-0.38124216--0.38129010)×2.38722833380001e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38722833380001e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38722833380001e-05×40589641000000     		ar = 42511.0210173577m²