Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57581 / 87507
↖ ↑ ↗
← S 51.541211°
W 21.849060°		 ← 189.96 m → S 51.541211°
W 21.846314°		 →
↑
189.92 m
↓
↑
189.92 m
↓
S 51.542919°
W 21.849060°		 ← 189.95 m →
36 076 m²		 S 51.542919°
W 21.846314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439311981201172 y=0.667629241943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439311981201172 × 217)
    floor (0.439311981201172 × 131072)
    floor (57581.5)     		tx = 57581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667629241943359 × 217)
    floor (0.667629241943359 × 131072)
    floor (87507.5)     		ty = 87507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57581 / 87507 ti = "17/57581/87507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57581/87507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57581 ÷ 217
    57581 ÷ 131072     		x = 0.439308166503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87507 ÷ 217
    87507 ÷ 131072     		y = 0.667625427246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439308166503906 × 2 - 1) × π
    -0.121383666992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.38133804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667625427246094 × 2 - 1) × π
    -0.335250854492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.05322162155225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38133804} λ = -0.38133804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05322162155225))-π/2
    2×atan(0.348812196143017)-π/2
    2×0.335616250572871-π/2
    0.671232501145742-1.57079632675     		φ = -0.89956383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38133804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.849060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89956383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.541211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57581 KachelY 87507 -0.38133804 -0.89956383 -21.849060 -51.541211
    Oben rechts KachelX + 1 57582 KachelY 87507 -0.38129010 -0.89956383 -21.846314 -51.541211
    Unten links KachelX 57581 KachelY + 1 87508 -0.38133804 -0.89959364 -21.849060 -51.542919
    Unten rechts KachelX + 1 57582 KachelY + 1 87508 -0.38129010 -0.89959364 -21.846314 -51.542919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89956383--0.89959364) × R
    2.9810000000019e-05 × 6371000     		dl = 189.919510000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89956383--0.89959364) × R
    2.9810000000019e-05 × 6371000     		dr = 189.919510000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38133804--0.38129010) × cos(-0.89956383) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621951572829137 × 6371000     		do = 189.960019375379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38133804--0.38129010) × cos(-0.89959364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621928229662156 × 6371000     		du = 189.952889771329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89956383)-sin(-0.89959364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621951572829137-0.621928229662156)×R²
    abs(-0.38129010--0.38133804)×2.33431669814932e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33431669814932e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33431669814932e-05×40589641000000     		ar = 36076.4367765107m²