Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57579 / 87489
↖ ↑ ↗
← S 51.510452°
W 21.854553°		 ← 190.09 m → S 51.510452°
W 21.851806°		 →
↑
190.11 m
↓
↑
190.11 m
↓
S 51.512161°
W 21.854553°		 ← 190.08 m →
36 137 m²		 S 51.512161°
W 21.851806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439296722412109 y=0.667491912841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439296722412109 × 217)
    floor (0.439296722412109 × 131072)
    floor (57579.5)     		tx = 57579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667491912841797 × 217)
    floor (0.667491912841797 × 131072)
    floor (87489.5)     		ty = 87489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57579 / 87489 ti = "17/57579/87489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57579/87489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57579 ÷ 217
    57579 ÷ 131072     		x = 0.439292907714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87489 ÷ 217
    87489 ÷ 131072     		y = 0.667488098144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439292907714844 × 2 - 1) × π
    -0.121414184570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.38143391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667488098144531 × 2 - 1) × π
    -0.334976196289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.05235875735909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38143391} λ = -0.38143391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05235875735909))-π/2
    2×atan(0.34911330358594)-π/2
    2×0.335884671104228-π/2
    0.671769342208455-1.57079632675     		φ = -0.89902698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38143391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.854553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89902698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.510452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57579 KachelY 87489 -0.38143391 -0.89902698 -21.854553 -51.510452
    Oben rechts KachelX + 1 57580 KachelY 87489 -0.38138597 -0.89902698 -21.851806 -51.510452
    Unten links KachelX 57579 KachelY + 1 87490 -0.38143391 -0.89905682 -21.854553 -51.512161
    Unten rechts KachelX + 1 57580 KachelY + 1 87490 -0.38138597 -0.89905682 -21.851806 -51.512161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89902698--0.89905682) × R
    2.98399999999477e-05 × 6371000     		dl = 190.110639999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89902698--0.89905682) × R
    2.98399999999477e-05 × 6371000     		dr = 190.110639999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38143391--0.38138597) × cos(-0.89902698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.622371866639835 × 6371000     		do = 190.088387923528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38143391--0.38138597) × cos(-0.89905682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.622348509947223 × 6371000     		du = 190.081254188403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89902698)-sin(-0.89905682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622371866639835-0.622348509947223)×R²
    abs(-0.38138597--0.38143391)×2.33566926117756e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33566926117756e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33566926117756e-05×40589641000000     		ar = 36137.1469879421m²