Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57578 / 87490
↖ ↑ ↗
← S 51.512161°
W 21.857300°		 ← 190.08 m → S 51.512161°
W 21.854553°		 →
↑
190.05 m
↓
↑
190.05 m
↓
S 51.513870°
W 21.857300°		 ← 190.07 m →
36 124 m²		 S 51.513870°
W 21.854553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439289093017578 y=0.667499542236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439289093017578 × 217)
    floor (0.439289093017578 × 131072)
    floor (57578.5)     		tx = 57578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667499542236328 × 217)
    floor (0.667499542236328 × 131072)
    floor (87490.5)     		ty = 87490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57578 / 87490 ti = "17/57578/87490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57578/87490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57578 ÷ 217
    57578 ÷ 131072     		x = 0.439285278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87490 ÷ 217
    87490 ÷ 131072     		y = 0.667495727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439285278320312 × 2 - 1) × π
    -0.121429443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38148185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667495727539062 × 2 - 1) × π
    -0.334991455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05240669425871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38148185} λ = -0.38148185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05240669425871))-π/2
    2×atan(0.349096568577665)-π/2
    2×0.335869754095321-π/2
    0.671739508190643-1.57079632675     		φ = -0.89905682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38148185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.857300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89905682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.512161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57578 KachelY 87490 -0.38148185 -0.89905682 -21.857300 -51.512161
    Oben rechts KachelX + 1 57579 KachelY 87490 -0.38143391 -0.89905682 -21.854553 -51.512161
    Unten links KachelX 57578 KachelY + 1 87491 -0.38148185 -0.89908665 -21.857300 -51.513870
    Unten rechts KachelX + 1 57579 KachelY + 1 87491 -0.38143391 -0.89908665 -21.854553 -51.513870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89905682--0.89908665) × R
    2.98300000000085e-05 × 6371000     		dl = 190.046930000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89905682--0.89908665) × R
    2.98300000000085e-05 × 6371000     		dr = 190.046930000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38148185--0.38143391) × cos(-0.89905682) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.622348509947223 × 6371000     		do = 190.081254188623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38148185--0.38143391) × cos(-0.89908665) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.622325160528045 × 6371000     		du = 190.074122674992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89905682)-sin(-0.89908665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622348509947223-0.622325160528045)×R²
    abs(-0.38143391--0.38148185)×2.33494191784756e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33494191784756e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33494191784756e-05×40589641000000     		ar = 36123.6811507366m²