Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57578 / 44394
↖ ↑ ↗
← N 50.102965°
W 21.857300°		 ← 195.90 m → N 50.102965°
W 21.854553°		 →
↑
195.91 m
↓
↑
195.91 m
↓
N 50.101203°
W 21.857300°		 ← 195.91 m →
38 380 m²		 N 50.101203°
W 21.854553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439289093017578 y=0.338703155517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439289093017578 × 217)
    floor (0.439289093017578 × 131072)
    floor (57578.5)     		tx = 57578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338703155517578 × 217)
    floor (0.338703155517578 × 131072)
    floor (44394.5)     		ty = 44394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57578 / 44394 ti = "17/57578/44394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57578/44394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57578 ÷ 217
    57578 ÷ 131072     		x = 0.439285278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44394 ÷ 217
    44394 ÷ 131072     		y = 0.338699340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439285278320312 × 2 - 1) × π
    -0.121429443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38148185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338699340820312 × 2 - 1) × π
    0.322601318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01348193176723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38148185} λ = -0.38148185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01348193176723))-π/2
    2×atan(2.75517767337121)-π/2
    2×1.22262901104417-π/2
    2.44525802208833-1.57079632675     		φ = 0.87446170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38148185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.857300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87446170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.102965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57578 KachelY 44394 -0.38148185 0.87446170 -21.857300 50.102965
    Oben rechts KachelX + 1 57579 KachelY 44394 -0.38143391 0.87446170 -21.854553 50.102965
    Unten links KachelX 57578 KachelY + 1 44395 -0.38148185 0.87443095 -21.857300 50.101203
    Unten rechts KachelX + 1 57579 KachelY + 1 44395 -0.38143391 0.87443095 -21.854553 50.101203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87446170-0.87443095) × R
    3.07499999999683e-05 × 6371000     		dl = 195.908249999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87446170-0.87443095) × R
    3.07499999999683e-05 × 6371000     		dr = 195.908249999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38148185--0.38143391) × cos(0.87446170) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641409933940794 × 6371000     		do = 195.903103717317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38148185--0.38143391) × cos(0.87443095) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641433524986574 × 6371000     		du = 195.910309029931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87446170)-sin(0.87443095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641409933940794-0.641433524986574)×R²
    abs(-0.38143391--0.38148185)×2.35910457796473e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35910457796473e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35910457796473e-05×40589641000000     		ar = 38379.74001201m²