Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57577 / 85165
↖ ↑ ↗
← S 47.363014°
W 21.860046°		 ← 206.84 m → S 47.363014°
W 21.857300°		 →
↑
206.87 m
↓
↑
206.87 m
↓
S 47.364874°
W 21.860046°		 ← 206.83 m →
42 787 m²		 S 47.364874°
W 21.857300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439281463623047 y=0.649761199951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439281463623047 × 217)
    floor (0.439281463623047 × 131072)
    floor (57577.5)     		tx = 57577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649761199951172 × 217)
    floor (0.649761199951172 × 131072)
    floor (85165.5)     		ty = 85165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57577 / 85165 ti = "17/57577/85165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57577/85165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57577 ÷ 217
    57577 ÷ 131072     		x = 0.439277648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85165 ÷ 217
    85165 ÷ 131072     		y = 0.649757385253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439277648925781 × 2 - 1) × π
    -0.121444702148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38152978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649757385253906 × 2 - 1) × π
    -0.299514770507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.940953402642082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38152978} λ = -0.38152978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940953402642082))-π/2
    2×atan(0.390255587227592)-π/2
    2×0.372077899308225-π/2
    0.744155798616451-1.57079632675     		φ = -0.82664053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38152978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.860046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82664053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.363014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57577 KachelY 85165 -0.38152978 -0.82664053 -21.860046 -47.363014
    Oben rechts KachelX + 1 57578 KachelY 85165 -0.38148185 -0.82664053 -21.857300 -47.363014
    Unten links KachelX 57577 KachelY + 1 85166 -0.38152978 -0.82667300 -21.860046 -47.364874
    Unten rechts KachelX + 1 57578 KachelY + 1 85166 -0.38148185 -0.82667300 -21.857300 -47.364874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82664053--0.82667300) × R
    3.24699999999511e-05 × 6371000     		dl = 206.866369999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82664053--0.82667300) × R
    3.24699999999511e-05 × 6371000     		dr = 206.866369999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38152978--0.38148185) × cos(-0.82664053) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.677351005378063 × 6371000     		do = 206.837278024673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38152978--0.38148185) × cos(-0.82667300) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.677327118141245 × 6371000     		du = 206.829983769547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82664053)-sin(-0.82667300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677351005378063-0.677327118141245)×R²
    abs(-0.38148185--0.38152978)×2.38872368184539e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38872368184539e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38872368184539e-05×40589641000000     		ar = 42786.9224211455m²